Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

5. . Cierto estudio de mercado revela que el 45 % de los entrevistados consume el producto $A$ y el 60% de los entrevistados consume el producto B. Además se obtiene que el porcentaje de entrevistados que consume ambos productos es del 20%. Si seleccionamos al azar un individuo de los entrevistados,
a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que consuma el producto $A$, pero no consuma el producto $B$?
b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que consuma alguno de los dos productos?.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{consuma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{consuma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los datos del estudio son

$P(A)=\mathrm{0,45}P(B)=\mathrm{0,60}P(A\cap B)=\mathrm{0,20}$

Los que consumen $A$ se reparten en dos grupos disjuntos: los que además consumen $B$ y los que no. Por tanto

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,45}-\mathrm{0,20}=\mathrm{0,25}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,25}}$: un 25 % de los entrevistados consume solo el producto A.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{consuma}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{productos?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aquí se aplica la fórmula de la unión, restando la intersección para no contar dos veces a quienes consumen los dos:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,45}+\mathrm{0,60}-\mathrm{0,20}$

$P(A\cup B)=\mathrm{0,85}$

Un $\mathbf{\text{85}}\mathbf{\text{\%}}$ de los entrevistados consume al menos uno de los dos productos; el 15 % restante no consume ninguno. Obsérvese de paso que los sucesos no son independientes: si lo fueran, $P(A\cap B)$ sería $\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,27}$ y no 0,20.