Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

6. Una fábrica de tornillos utiliza en su fabricación el 60 % de las veces la máquina A y el 40 % restante la B. La máquina A produce un 5 % de tornillos defectuosos y la B un 2,5 %.\n a) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que un tornillo, elegido al azar, sea defectuoso.\n b) [1,25 puntos] Si un tornillo elegido al azar resultase defectuoso, calcula la probabilidad de que lo haya producido la máquina B.\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tornillo,}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuoso.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $A$ y $B$ los sucesos «lo fabrica la máquina A» y «lo fabrica la B», y $D$ el suceso «es defectuoso». Los datos son

$P(A)=\mathrm{0,60}P(B)=\mathrm{0,40}P(D\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,05}P(D\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,025}$



Las dos máquinas forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total:

$P(D)=P(A)P(D\mathrm{\mid }A)+P(B)P(D\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,025}$

$P(D)=\mathrm{0,03}+\mathrm{0,01}=\mathrm{0,04}$

Un $4\mathrm{\%}$ de los tornillos sale defectuoso.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tornillo}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{resultase}}\mathbf{\text{defectuoso,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema de Bayes:

$P(B\mathrm{\mid }D)=\frac{P(B)P(D\mathrm{\mid }B)}{P(D)}=\frac{\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,025}}{\mathrm{0,04}}=\frac{\mathrm{0,01}}{\mathrm{0,04}}$

$P(B\mathrm{\mid }D)=\mathrm{0,25}$

Solo la cuarta parte de los tornillos defectuosos procede de la máquina B, pese a que fabrica el 40 % de la producción: es la mitad de defectuosa que la A, y por eso está infrarrepresentada entre los fallos. Los tres cuartos restantes, $P(A\mathrm{\mid }D)=\mathrm{0,03}\mathrm{/}\mathrm{0,04}=\mathrm{0,75}$, salen de la máquina A.