Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

5.Los cursos de monitor de esquí en determinada estación se reparten en tres turnos, A, B y C. Los alumnos del turno A representan el 20 % del alumnado, los del turno B representan el 30 % del alumnado y los del turno C representan el 50 % restante. Además se sabe que el porcentaje de alumnos que aprueban el curso es del 95 % en el turno A, 90 % en el B y 92 % en el C. Si se elige un alumno al azar,
a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado el curso y no sea del turno B?
b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado el curso o sea del turno B?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{curso}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{turno}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $A$, $B$ y $C$ los tres turnos y $P$ el suceso «aprueba el curso». Los datos son

$P(A)=\mathrm{0,20}P(B)=\mathrm{0,30}P(C)=\mathrm{0,50}$

$P(P\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,95}P(P\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,90}P(P\mathrm{\mid }C)=\mathrm{0,92}$



Aprobar sin ser del turno B solo puede ocurrir por las ramas de A y de C, que son incompatibles entre sí:

$P(P\cap \bar{B})=P(A)P(P\mathrm{\mid }A)+P(C)P(P\mathrm{\mid }C)=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,95}+\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,92}$

$P(P\cap \bar{B})=\mathrm{0,19}+\mathrm{0,46}=\mathrm{0,65}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,65}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{curso}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{turno}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero la probabilidad total de aprobar, sumando las tres ramas:

$P(P)=\mathrm{0,19}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,90}+\mathrm{0,46}=\mathrm{0,19}+\mathrm{0,27}+\mathrm{0,46}=\mathrm{0,92}$

Ahora se aplica la fórmula de la unión, con $P(P\cap B)=\mathrm{0,27}$:

$P(P\cup B)=P(P)+P(B)-P(P\cap B)=\mathrm{0,92}+\mathrm{0,30}-\mathrm{0,27}=\mathrm{0,95}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,95}}$. Se puede comprobar por el suceso contrario, que es «suspende y no es del turno B»:

$1-(\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,08})=1-(\mathrm{0,01}+\mathrm{0,04})=\mathrm{0,95}$