Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

8.. En una determinada comunidad autónoma se ha seleccionado una muestra aleatoria de 500 personas, de las que 190 leen el periódico habitualmente.*\n a) [1,5 puntos] Halla, con un nivel de confianza del 95 %, un intervalo para estimar la proporción de personas que leen el periódico habitualmente en esa comunidad autónoma.\n b) [1 punto] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese disminuido el tamaño muestral?\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halla,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{leen}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peri}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dico}}\mathbf{\text{habitualmente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{comunidad}}\mathbf{\text{aut}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{noma.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{190}{500}=\mathrm{0,38}$

y el intervalo de confianza para una proporción es

$(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}})$

Para el 95 % de confianza, $F(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$, luego $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$. El error estándar vale

$\sqrt{\frac{\mathrm{0,38}\cdot \mathrm{0,62}}{500}}=\sqrt{\frac{\mathrm{0,2356}}{500}}=\sqrt{\mathrm{4,712}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{0,02171}$

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,02171}=\mathrm{0,04255}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}=(\mathrm{0,38}-\mathrm{0,0425};\mathrm{0,38}+\mathrm{0,0425})=(\mathrm{0,3375};\mathrm{0,4225})$

Con una confianza del 95 %, entre el $\mathrm{33,7}\mathrm{\%}$ y el $\mathrm{42,3}\mathrm{\%}$ de la población de esa comunidad lee el periódico habitualmente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{si,}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral,}}\mathbf{\text{hubiese}}\mathbf{\text{disminuido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación es la semiamplitud del intervalo, ya calculada:

$E=\mathrm{0,0425}$

es decir, unos 4,3 puntos porcentuales.

Si el tamaño muestral disminuyera manteniendo todo lo demás, el error $\mathbf{\text{aumentar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}$. Se ve en la fórmula: $n$ aparece en el denominador y bajo una raíz cuadrada, de modo que al reducirlo el cociente crece y el intervalo se ensancha.

Con números, si la muestra hubiera sido de 125 personas —la cuarta parte— con la misma proporción, el error sería

$E=\mathrm{1,96}\sqrt{\frac{\mathrm{0,2356}}{125}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,04342}=\mathrm{0,0851}$

exactamente el doble. La regla es esa: dividir la muestra entre cuatro duplica el error, porque este depende de $1\mathrm{/}\sqrt{n}$.