Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

7. Para estudiar la evolución del precio medio de un producto en determinada ciudad, se consideró una muestra aleatoria de 40 comercios de dicha ciudad y se obtuvo que el precio medio de dicho producto en la muestra era de 36 euros. Se supone que el precio de dicho producto se puede aproximar por una distribución normal con desviación típica 5,5 euros.*\n a) [1,5 puntos] Construye un intervalo de confianza para el precio medio de dicho producto en esa ciudad, al 90 % de confianza.\n b) [1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero precio medio en esa ciudad a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 1,5 euros y un nivel de confianza del 90 %?\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{ciudad,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de estimar la media de una población normal con desviación típica conocida, así que el intervalo es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para el 90 % de confianza se busca en la tabla el valor crítico que deja $1-\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,95}$ a su izquierda:

$F(\mathrm{1,64})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,64}$

Con $\bar{x}=36$ €, $\sigma =\mathrm{5,5}$ € y $n=40$:

$E=\mathrm{1,64}\cdot \frac{\mathrm{5,5}}{\sqrt{40}}=\mathrm{1,64}\cdot \mathrm{0,8696}=\mathrm{1,426}$

$I{C}_{90\mathrm{\%}}=(36-\mathrm{1,426};36+\mathrm{1,426})=(\mathrm{34,574};\mathrm{37,426})$

Con una confianza del 90 %, el precio medio del producto en esa ciudad está entre $\mathrm{34,57}$ € y $\mathrm{37,43}$ €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{verdadero}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,5}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se impone que el error no pase de 1,5 € y se despeja el tamaño:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mathrm{1,5}\Rightarrow \sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{1,64}\cdot \mathrm{5,5}}{\mathrm{1,5}}=\mathrm{6,013}$

$n\ge {\mathrm{6,013}}^2=\mathrm{36,16}$

$n=37\text{ comercios}$

Se redondea hacia arriba, como siempre en estos problemas: con 36 el error se pasaría de los 1,5 € admitidos. Obsérvese que la muestra de 40 comercios del apartado a) cumple de sobra esa exigencia, y de hecho su error fue de 1,43 €.