Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

6.En un proceso de fabricación se sabe que el 2 % de las piezas producidas son defectuosas. Se utiliza un dispositivo para detectarlas que califica como defectuosas al 90 % de las piezas defectuosas, pero también califica como defectuosas a un 5 % que no lo son.
a) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que el dispositivo califique como pieza cualquiera como defectuosa.
b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que no sea defectuosa una pieza que el dispositivo ha calificado como defectuosa.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dispositivo}}\mathbf{\text{califique}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{cualquiera}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos $D$ = «la pieza es defectuosa» y $C$ = «el dispositivo la califica como defectuosa». Los datos son

$P(D)=\mathrm{0,02}P(\bar{D})=\mathrm{0,98}P(C\mathrm{\mid }D)=\mathrm{0,90}P(C\mathrm{\mid }\bar{D})=\mathrm{0,05}$



Ser defectuosa o no serlo forma un sistema completo de sucesos, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $C$:

$P(C)=P(D)P(C\mathrm{\mid }D)+P(\bar{D})P(C\mathrm{\mid }\bar{D})=\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,90}+\mathrm{0,98}\cdot \mathrm{0,05}$

$P(C)=\mathrm{0,018}+\mathrm{0,049}=\mathrm{0,067}$

El dispositivo rechaza el $\mathbf{\text{6,7}}\mathbf{\text{\%}}$ de las piezas, bastante más que el 2 % que realmente sale mal.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dispositivo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{calificado}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes con la rama de las piezas buenas:

$P(\bar{D}\mathrm{\mid }C)=\frac{P(\bar{D})P(C\mathrm{\mid }\bar{D})}{P(C)}=\frac{\mathrm{0,98}\cdot \mathrm{0,05}}{\mathrm{0,067}}=\frac{\mathrm{0,049}}{\mathrm{0,067}}$

$P(\bar{D}\mathrm{\mid }C)\approx \mathrm{0,7313}$

Casi tres de cada cuatro piezas rechazadas, un $\mathbf{\text{73,13}}\mathbf{\text{\%}}$, están en realidad en buen estado. El resultado sorprende, pero es lo habitual cuando se busca algo muy poco frecuente: como las piezas buenas son 49 veces más numerosas, ese pequeño 5 % de falsos positivos genera muchos más rechazos que el 90 % de aciertos sobre las pocas piezas defectuosas.