Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

8. En una ciudad se ha encuestado a 1250 vecinos, de los cuales 525 han manifestado estar a favor de la gestión económica del ayuntamiento.
a) [1,5 puntos] Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la proporción de vecinos de esa ciudad que están a favor de la gestión económica del ayuntamiento, al 99 % de confianza.
b) [1 punto] En el intervalo anterior, ¿Cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese aumentado el tamaño de la muestra?\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vecinos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{ciudad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gesti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{econ}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{ayuntamiento,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{99\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}=\frac{525}{1250}=\mathrm{0,42}1-\widehat{p}=\mathrm{0,58}$

Para un nivel de confianza del 99 % se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,005}$ y el valor crítico es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$.

El error estándar de la proporción vale

$\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{\mathrm{0,42}\cdot \mathrm{0,58}}{1250}}=\sqrt{\mathrm{0,00019488}}\approx \mathrm{0,013960}$

y el error de estimación,

$E=\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,013960}\approx \mathrm{0,0360}$

de modo que el intervalo es

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,42}-\mathrm{0,0360},\mathrm{0,42}+\mathrm{0,0360})=\mathbf{\text{(0,3840;}}\mathbf{\text{0,4560)}}$

Con una confianza del 99 %, entre el 38,40 % y el 45,60 % de los vecinos de esa ciudad apoyan la gestión económica del ayuntamiento. Nótese que el intervalo queda por completo por debajo de 0,5: con esa confianza puede afirmarse que los partidarios no son mayoría.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{si,}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral,}}\mathbf{\text{hubiese}}\mathbf{\text{aumentado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación es el semiamplitud del intervalo, ya calculado:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\approx \mathbf{\text{0,0360}}$

También puede leerse directamente del intervalo: $E={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4560}-\mathrm{0,3840}}{2}}=\mathrm{0,0360}$.

En esa fórmula, si el nivel de confianza y la proporción muestral no cambian, el numerador se mantiene fijo y solo varía el $\sqrt{n}$ del denominador. Al aumentar $n$ aumenta $\sqrt{n}$, así que el error de estimación $\mathbf{\text{disminuye}}$ y el intervalo se estrecha.

Por ejemplo, con una muestra cuatro veces mayor, $n=5000$, el error sería

$E=\mathrm{2,58}\sqrt{\frac{\mathrm{0,42}\cdot \mathrm{0,58}}{5000}}\approx \mathrm{0,0180}$

justo la mitad: para dividir el error entre dos hay que multiplicar la muestra por cuatro.