Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

7. Se supone que el precio de un determinado producto sigue aproximadamente una distribución normal con desviación típica 5 euros.
a) [1,5 puntos] Para estimar el precio medio, se considera una muestra aleatoria de 100 de estos productos, los cuales han costado en total 10400 euros. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para el precio medio de ese producto, al 95 % de confianza.
b) [1 punto] ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero precio medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0,5 euros y un nivel de confianza del 95 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{medio,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{productos,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{costado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{Construye,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{producto,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{95\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La media muestral se obtiene del total:

$\bar{x}=\frac{10400}{100}=104\text{ euros}$

Con $\sigma =5$ conocida y población normal, el intervalo de confianza para la media es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Para un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y se busca en la tabla el valor con $P(Z\le z)=\mathrm{0,975}$, que es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

El error de estimación vale

$E=\mathrm{1,96}\cdot \frac{5}{\sqrt{100}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,98}$

y el intervalo queda

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(\mu )=(104-\mathrm{0,98},104+\mathrm{0,98})=\mathbf{\text{(103,02;}}\mathbf{\text{104,98)}}$

Con una confianza del 95 %, el precio medio del producto está entre 103,02 y 104,98 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{verdadero}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,5}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se impone que el error no pase de 0,5 y se despeja $n$:

$\mathrm{1,96}\cdot \frac{5}{\sqrt{n}}\le \mathrm{0,5}⟹\sqrt{n}\ge \frac{\mathrm{1,96}\cdot 5}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{19,6}$

$n\ge {\mathrm{19,6}}^2=\mathrm{384,16}$

Como el tamaño muestral es un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se redondea siempre hacia arriba:

$n=\mathbf{\text{385}}\text{ productos}$

Hace falta casi cuadruplicar la muestra anterior para reducir el error a la mitad, porque el error baja con $\sqrt{n}$ y no con $n$.