Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

5.Se sortea un viaje a Japón entre los 240 mejores clientes de una agencia de viajes. De ellos, 144 son mujeres, 168 son personas con hijos y 90 son hombres con hijos.
a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre sin hijos?
b) [1,25 puntos] Si la persona a la que le toca el viaje tiene hijos, ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{toque}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{hombre}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{hijos?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Lo más cómodo es rellenar la tabla de contingencia con los 240 clientes. Del enunciado se conocen tres casillas: 144 mujeres, 168 personas con hijos y 90 hombres con hijos. El resto sale por diferencias.

$$	Con hijos	Sin hijos	Total Hombres	90	6	96 Mujeres	78	66	144 Total	168	72	240

En efecto: los hombres son $240-144=96$, de los que 90 tienen hijos, así que quedan $96-90=6$ hombres sin hijos. Las mujeres con hijos son $168-90=78$ y las mujeres sin hijos, $144-78=66$.

Aplicando la regla de Laplace, ya que el sorteo es al azar entre los 240:

$P(\text{hombre sin hijos})=\frac{6}{240}=\mathrm{0,025}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,025}}$, es decir, un $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$. Es el grupo más pequeño con diferencia: casi todos los hombres de la lista tienen hijos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{toca}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{hijos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el espacio muestral se reduce a las 168 personas con hijos, de las que 78 son mujeres:

$P(\text{mujer}\mathrm{\mid }\text{con hijos})=\frac{P(\text{mujer y con hijos})}{P(\text{con hijos})}=\frac{78\mathrm{/}240}{168\mathrm{/}240}=\frac{78}{168}$

$P(\text{mujer}\mathrm{\mid }\text{con hijos})=\frac{13}{28}\approx \mathrm{0,4643}$

La probabilidad es $\mathbf{\text{0,4643}}$, un $\mathrm{46,43}\mathrm{\%}$. Es algo menor que la proporción de mujeres en el total ($144\mathrm{/}240=\mathrm{0,60}$), lo que indica que tener hijos y ser mujer no son sucesos independientes en esta lista de clientes.