Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

A.4 [hasta 2,5 puntos]
En un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales el 35 % del alumnado examinado obtuvo una puntuación superior a 6,8 puntos.
Sabemos que la puntuación obtenida en dicho examen sigue una distribución normal de media 5,8 puntos.

a) [0,75 puntos] Calcula la desviación típica de la distribución de la puntuación.
b) [0,75 puntos] Si la desviación típica es 2,6 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 20 % del alumnado?
c) [1 punto] Si la desviación típica es 2,6 puntos y el Apto se obtiene con una puntuación igual o superior a 5, ¿qué porcentaje del alumnado ha conseguido ser apto en el examen?

Se llama $X$ a la puntuación obtenida en el examen. El enunciado da la media y una probabilidad, pero no la desviación típica, que es la incógnita del primer apartado.

$X\sim N(\mathrm{5,8};\sigma ),P(X>\mathrm{6,8})=\mathrm{0,35}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se pasa al suceso contrario para poder usar la tabla, que da áreas acumuladas por la izquierda, y se tipifica dejando $\sigma$ como incógnita.

$P(X>\mathrm{6,8})=\mathrm{0,35}\Rightarrow P(X\le \mathrm{6,8})=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$

$P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{6,8}-\mathrm{5,8}}{\sigma }})=P(Z\le {\displaystyle \frac{1}{\sigma }})=\mathrm{0,65}$

En la tabla, el área $\mathrm{0,65}$ cae entre $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,38})=\mathrm{0,6480}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,39})=\mathrm{0,6517}$, casi a la mitad, de modo que se interpola y se toma el valor intermedio.

${\displaystyle \frac{1}{\sigma }}=\mathrm{0,385}\Rightarrow \sigma ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,385}}}=\mathrm{2,597}$

La desviación típica de la distribución de las puntuaciones es de $\mathrm{2,597}$ puntos, aproximadamente $\mathrm{2,6}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{2,6}}\mathbf{\text{puntos,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{superada}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{alumnado?}}$

Se busca la puntuación $k$ que deja por encima el $20\mathrm{\%}$ del alumnado, es decir, la que acumula por debajo el $80\mathrm{\%}$.

$X\sim N(\mathrm{5,8};\mathrm{2,6})$

$P(X>k)=\mathrm{0,20}\Rightarrow P(X\le k)=\mathrm{0,80}$

$P(Z\le {\displaystyle \frac{k-\mathrm{5,8}}{\mathrm{2,6}}})=\mathrm{0,80}$

De nuevo el área cae entre dos valores de la tabla, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,84})=\mathrm{0,7995}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,85})=\mathrm{0,8023}$, y se toma el intermedio.

${\displaystyle \frac{k-\mathrm{5,8}}{\mathrm{2,6}}}=\mathrm{0,845}\Rightarrow k=\mathrm{5,8}+\mathrm{0,845}\cdot \mathrm{2,6}=\mathrm{5,8}+\mathrm{2,197}=\mathrm{7,997}$

La puntuación superada únicamente por el $20\mathrm{\%}$ del alumnado es de $\mathrm{7,997}$ puntos, es decir, prácticamente un $8$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{2,6}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Apto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{alumnado}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{conseguido}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{apto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen?}}$

Se tipifica la puntuación de corte y, como el valor tipificado sale negativo, se lleva al semieje positivo con la simetría de la campana.

$P(X\ge 5)=P(Z\ge {\displaystyle \frac{5-\mathrm{5,8}}{\mathrm{2,6}}})=P(Z\ge -\mathrm{0,31})$

$P(Z\ge -\mathrm{0,31})=P(Z\le \mathrm{0,31})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,31})=\mathrm{0,6217}$

El resultado es coherente con el dibujo: como el $5$ queda a la izquierda de la media, el porcentaje de aptos tiene que superar el $50\mathrm{\%}$.

Alrededor del $\mathrm{62,17}\mathrm{\%}$ del alumnado ha conseguido el apto en el examen.