Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

Pregunta 5 (2 puntos)

Opción 5.2. La distribución de edades de un cierto conjunto de personas sigue una distribución normal $N(\mu ,\sigma )$. Sabiendo que el 94,52 % tiene menos de 32 años, y un 21,19 % tiene menos de 20 años, calcule su media y su desviación típica.

Llamamos $X$ a la variable «edad», que sigue una distribución $N(\mu ,\sigma )$ con los dos parámetros desconocidos. Cada dato del enunciado se tipifica y da una ecuación lineal en $\mu$ y $\sigma$; con las dos se forma un sistema.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$

El primer dato dice que el $\mathrm{94,52}\mathrm{\%}$ tiene menos de $32$ años.

$P(X<32)=P(Z<{\displaystyle \frac{32-\mu }{\sigma }})=\mathrm{0,9452}$

En la tabla de la normal estándar, la probabilidad acumulada $\mathrm{0,9452}$ corresponde a $z=\mathrm{1,6}$.

${\displaystyle \frac{32-\mu }{\sigma }}=\mathrm{1,6}\Rightarrow \mu +\mathrm{1,6}\sigma =32$



El segundo dice que el $\mathrm{21,19}\mathrm{\%}$ tiene menos de $20$ años. Como esa probabilidad es menor que $\mathrm{0,5}$, el valor tipificado es negativo y hay que usar la simetría de la campana para buscarlo en la tabla.

$P(X<20)=P(Z<{\displaystyle \frac{20-\mu }{\sigma }})=\mathrm{0,2119}$

$P(Z<{\displaystyle \frac{\mu -20}{\sigma }})=1-\mathrm{0,2119}=\mathrm{0,7881}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mu -20}{\sigma }}=\mathrm{0,8}$

$\mu -\mathrm{0,8}\sigma =20$



Se resuelve el sistema restando la segunda ecuación de la primera.

$\{\begin{array}{l}\mu +\mathrm{1,6}\sigma =32\\ \mu -\mathrm{0,8}\sigma =20\end{array}\Rightarrow \mathrm{2,4}\sigma =12\Rightarrow \sigma =5$

$\mu =20+\mathrm{0,8}\cdot 5=24$

La edad media del conjunto de personas es de $24$ años y la desviación típica, de $5$ años.