Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2026

Las siguientes gráficas muestran la oscilación de una onda armónica transversal que oscila en el eje $y$ en función del tiempo en $x=1\text{ m}$, y la elongación en función de $x$ para el instante inicial. Si la onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$, determine:

a) El periodo, el número de onda, la amplitud y la longitud de onda. [1,6 puntos]

b) La expresión matemática de la onda. [0,9 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,6}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}$

Cada gráfica da una cosa distinta y conviene no confundirlas: la primera es el movimiento de un solo punto (el de $x=1\text{ m}$) a lo largo del tiempo, y la segunda es la foto de toda la cuerda en el instante inicial.

De la gráfica temporal se lee el tiempo que tarda ese punto en dar una oscilación completa:

$T=1\text{ s}$

De la gráfica espacial se lee la distancia entre dos crestas consecutivas:

$\lambda =4\text{ m}$

La amplitud es la elongación máxima, y se lee igual de bien en cualquiera de las dos:

$A=3\text{ m}$

El número de onda sale de la longitud de onda:

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad/m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,9}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

La forma general de una onda armónica transversal es:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t\pm kx+{\varphi }_0)$

La frecuencia angular sale del periodo:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{1}}=2\pi \text{ rad/s}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $x$, el signo del término espacial es el negativo. Falta la fase inicial, y se obtiene imponiendo lo que dice la gráfica temporal: en $x=1\text{ m}$ y $t=0$ la elongación es nula.

$0=3\mathrm{sen}(2\pi \cdot 0-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot 1+{\varphi }_0)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\varphi }_0=n\pi \Rightarrow {\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ o }{\varphi }_0={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

Pasar por cero no basta para decidir: hay que mirar hacia dónde va el punto. En la gráfica temporal, justo después de $t=0$ la elongación baja, luego la velocidad de vibración es negativa. Se deriva y se evalúa:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t-kx+{\varphi }_0)\Rightarrow v_y(1,0)=A\omega \cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\varphi }_0)<0$

${\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow \cos (0)=1>0\text{ (no vale)}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\Rightarrow \cos (\pi )=-1<0\text{ (vale)}$

La expresión de la onda es, con $y$ y $x$ en metros y $t$ en segundos:

$y(x,t)=3\mathrm{sen}(2\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}x+{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})$

Con la función coseno la misma onda se escribe $y(x,t)=3\cos (2\pi t-\frac{\pi }{2}x+\pi )$, que es equivalente.