Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2023

La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda viene dada por

$y(x,t)=6\text{sen}(\mathrm{0,02}\pi x+4\pi t),$

donde $x$ e $y$ están expresadas en cm y $t$ en segundos.

a) Determine su frecuencia y su longitud de onda.

b) ¿En qué sentido se propaga la onda?

c) Calcule la velocidad de propagación de la onda.

d) Calcule la velocidad y la aceleración máximas de vibración de un punto de la cuerda.

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t\pm kx)$

e identificando términos, con las magnitudes en centímetros y segundos:

$A=6\text{ cm}\omega =4\pi \text{ rad/s}k=\mathrm{0,02}\pi \text{ rad/cm}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}$

La frecuencia angular y la frecuencia están ligadas por $\omega =2\pi f$:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{4\pi }{2\pi }}=2\text{ Hz}$

Y el número de onda con la longitud de onda por $k=2\pi \mathrm{/}\lambda$:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,02}\pi }}=100\text{ cm}=1\text{ m}$



La onda tiene una frecuencia de 2 Hz y una longitud de onda de 1 m. Su periodo es, por tanto, $T=\mathrm{0,5}\text{ s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda?}}$

Lo dice el signo relativo de los dos términos de la fase. Un punto de fase constante cumple:

$\mathrm{0,02}\pi x+4\pi t=\text{constante}\Rightarrow x=\text{constante}-200t$

es decir, a medida que pasa el tiempo ese punto se desplaza hacia valores de $x$ cada vez menores.

La onda se propaga en el sentido NEGATIVO del eje X. La regla es general: cuando los dos términos de la fase llevan el mismo signo, la onda viaja hacia el sentido negativo; cuando lo llevan contrario, hacia el positivo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{4\pi }{\mathrm{0,02}\pi }}=200\text{ cm/s}$

$v=2\text{ m/s}$

La onda avanza por la cuerda a $2\text{ m/s}$, resultado que se comprueba con $v=\lambda f=1\cdot 2=2\text{ m/s}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple perpendicular a la propagación. Derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\dots )\Rightarrow v_{y,\max }=A\omega$

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-A{\omega }^2\text{sen}(\dots )\Rightarrow a_{y,\max }=A{\omega }^2$

$v_{y,\max }=\mathrm{0,06}\cdot 4\pi =\mathrm{0,754}\text{ m/s}$

$a_{y,\max }=\mathrm{0,06}\cdot (4\pi {)}^2=\mathrm{9,48}{\text{m/s}}^2$

La velocidad máxima de vibración es de $\mathrm{0,754}\text{ m/s}$ y se alcanza al pasar por la posición de equilibrio; la aceleración máxima es de $\mathrm{9,48}{\text{m/s}}^2$ y se alcanza en las crestas y en los valles. Conviene no confundir esta velocidad de vibración con la de propagación, que es de 2 m/s y va en otra dirección.