Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2022

El terremoto de Haití de 2010 provocó ondas mecánicas transversales que se propagaban por la superficie y cuyo desplazamiento vertical se puede modelizar por la expresión

$y(x,t)=A\text{sen}(\mathrm{12,6}t-\mathrm{4,3}x),$

donde $x$ es la distancia en kilómetros desde el epicentro del terremoto y $t$ el tiempo en segundos.

a) Determine la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de dichas ondas.

b) Los sismógrafos midieron una aceleración máxima de $\mathrm{0,2}g$ (donde $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$ es la aceleración de la gravedad). Determine el valor de la amplitud $A$ en milímetros.

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx)$

e identificando términos, con $x$ en kilómetros y $t$ en segundos:

$\omega =\mathrm{12,6}\text{ rad/s}k=\mathrm{4,3}\text{ rad/km}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichas}}\mathbf{\text{ondas.}}$

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{\mathrm{12,6}}{2\pi }}=\mathrm{2,01}\text{ Hz}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{4,3}}}=\mathrm{1,46}\text{ km}$



$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{12,6}}{\mathrm{4,3}}}=\mathrm{2,93}\text{ km/s}$

La frecuencia es de $\mathrm{2,01}\text{ Hz}$, la longitud de onda de $\mathrm{1,46}\text{ km}$ y la velocidad de propagación de $\mathrm{2,93}\text{ km/s}$, es decir, $\mathrm{2,93}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, del orden de la velocidad de las ondas sísmicas superficiales en la corteza terrestre.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{mil}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{metros.}}$

Cada punto de la superficie describe un movimiento armónico simple en la dirección vertical. Derivando dos veces la elongación respecto del tiempo:

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-A{\omega }^2\text{sen}(\omega t-kx)$

de modo que el valor máximo de la aceleración es:

$a_{\max }=A{\omega }^2$

El dato de los sismógrafos es esa aceleración máxima:

$a_{\max }=\mathrm{0,2}g=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{1,96}{\text{m/s}}^2$

Despejando la amplitud, con la frecuencia angular en unidades del SI:

$A={\displaystyle \frac{a_{\max }}{{\omega }^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}}{{\mathrm{12,6}}^2}}=\mathrm{1,23}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

$A=\mathrm{12,3}\text{ mm}$

La amplitud de la onda sísmica es de $\mathrm{12,3}\text{ mm}$. Sorprende lo pequeña que es en comparación con sus efectos, pero lo que destruye no es el desplazamiento sino la aceleración: 1,96 m/s² es la quinta parte de la gravedad, aplicada varias veces por segundo.