Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2020

Por una cuerda tensa se propaga una onda armónica en el sentido positivo del eje X. La frecuencia de la onda es de 4 Hz, y su amplitud es de 10 cm. La velocidad de propagación de la onda es de 20 cm/s. Calcule:

a) La ecuación de esta onda expresada en unidades del SI.

b) La velocidad transversal de un punto de la cuerda de coordenada $x=5\text{ cm}$ en el instante $t=3\text{ s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{expresada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{SI.}}$

Se calculan primero los tres parámetros de la onda, pasando los datos al Sistema Internacional:

$A=10\text{ cm}=\mathrm{0,10}\text{ m}v=20\text{ cm/s}=\mathrm{0,20}\text{ m/s}$

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 4=8\pi \text{ rad/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{4}}=\mathrm{0,05}\text{ m}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=40\pi \text{ rad/m}$



La onda se propaga en el sentido POSITIVO del eje X, de modo que los dos términos de la fase llevan signos contrarios. Tomando la fase inicial nula, que el enunciado no fija:

$y(x,t)=\mathrm{0,10}\text{sen}(8\pi t-40\pi x)\text{ m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos.



La velocidad transversal se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,10}\cdot 8\pi \cos (8\pi t-40\pi x)=\mathrm{0,8}\pi \cos (8\pi t-40\pi x)$

Se evalúa el argumento en el punto y el instante pedidos, con $x=\mathrm{0,05}\text{ m}$:

$8\pi \cdot 3-40\pi \cdot \mathrm{0,05}=24\pi -2\pi =22\pi \text{ rad}$

$\cos (22\pi )=1$

$v_y=\mathrm{0,8}\pi =\mathrm{2,51}\text{ m/s}$

La velocidad transversal de ese punto es de $\mathrm{2,51}\text{ m/s}$, hacia arriba, y coincide con la velocidad máxima $A\omega$: en ese instante el punto está pasando por la posición de equilibrio. Conviene no confundirla con la velocidad de propagación de la onda, que es de solo 0,20 m/s y va en otra dirección.