Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2025

La ecuación de una onda viajera que se propaga por una cuerda tensa es:

$y(x,t)=10\cdot \mathrm{sen}(25t-15x)\text{(S.I.)}$

Calcule razonadamente:

i) La velocidad de propagación de la onda. [0,5 puntos]

ii) La velocidad de oscilación de la cuerda en el punto $x=0\text{ m}$ en $t=5\text{ s}$. [0,5 puntos]

iii) La diferencia de fase entre dos puntos que, en el mismo instante, están separados $2\text{ m}$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Comparamos la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que viaja en el sentido positivo del eje $OX$:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx)$

$A=10\text{ m},\omega =25{\text{rad s}}^{-1},k=15{\text{rad m}}^{-1}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{25}{15}}$

$v=\mathrm{1,67}{\text{m s}}^{-1}$



La velocidad de oscilación de un punto es la derivada de su elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición.

$v_{\text{osc}}(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=10\cdot 25\cos (25t-15x)=250\cos (25t-15x)$

Sustituimos $x=0$ y $t=5$, con el argumento en radianes:

$v_{\text{osc}}=250\cos (125\text{ rad})=250\cdot \mathrm{0,7877}$

$v_{\text{osc}}=\mathrm{196,9}{\text{m s}}^{-1}$

No hay que confundir esta velocidad con la de propagación: la onda avanza a $\mathrm{1,67}{\text{m s}}^{-1}$, mientras que cada punto de la cuerda sube y baja con una velocidad que varía entre $-250$ y $+250{\text{m s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{instante,}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En un mismo instante, la fase solo depende de la posición a través del término $kx$.

$\mathrm{\Delta }\phi =\mid {\phi }_2-{\phi }_1\mid =k\mathrm{\Delta }x=15\cdot 2$

$\mathrm{\Delta }\phi =30\text{ rad}$

Esa diferencia equivale a ${\displaystyle \frac{30}{2\pi }}=\mathrm{4,77}$ longitudes de onda: los dos puntos ni están en fase ni en oposición de fase, sino en un estado de vibración intermedio.