Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2025

Por una cuerda tensa se propaga, en el sentido negativo del eje $OX$, una onda armónica transversal de $\mathrm{0,1}\text{ m}$ de amplitud, $5\text{ Hz}$ de frecuencia y una velocidad de propagación de $\mathrm{0,5}{\text{m s}}^{-1}$. Determine razonadamente:

i) La ecuación de la onda, sabiendo que para $t=0\text{ s}$ y $x=0\text{ m}$ se encuentra en la posición más alta de su oscilación. [0,75 puntos]

ii) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados $10\text{ cm}$ para un mismo instante. [0,5 puntos]

iii) La distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que se encuentren en oposición de fase en un mismo instante. [0,25 puntos]

Calculamos primero los parámetros de la onda a partir de los datos.

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 5=10\pi {\text{rad s}}^{-1}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{5}}=\mathrm{0,1}\text{ m}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=20\pi {\text{rad m}}^{-1}$

La onda avanza en el sentido negativo del eje $OX$, de modo que los términos en $t$ y en $x$ han de llevar el mismo signo dentro de la fase:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

Imponemos la condición inicial: en $t=0$ y $x=0$ el punto está en la elongación máxima, $y=A$.

$A\mathrm{sen}{\phi }_0=A\Rightarrow \mathrm{sen}{\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

$y(x,t)=\mathrm{0,1}\mathrm{sen}(10\pi t+20\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ (S.I.)}$

que, usando la relación entre el seno y el coseno, se escribe más brevemente como

$y(x,t)=\mathrm{0,1}\cos (10\pi t+20\pi x)\text{ (S.I.)}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{instante.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para un mismo instante, la fase solo depende de la posición, así que la diferencia de fase es

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=20\pi \cdot \mathrm{0,1}$

$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi \text{ rad}$

Los dos puntos están en fase: 10 cm es exactamente una longitud de onda, y a esa distancia el estado de vibración se repite. Los dos puntos suben y bajan a la vez.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentren}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{oposici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{instante.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos puntos están en oposición de fase cuando su diferencia de fase es $\pi$ radianes, o un múltiplo impar de $\pi$. La distancia mínima corresponde al primer caso.

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=\pi \Rightarrow \mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\pi }{k}}={\displaystyle \frac{\pi }{20\pi }}$

$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{0,05}\text{ m}={\displaystyle \frac{\lambda }{2}}$

La distancia mínima es de 5 cm, media longitud de onda: cuando uno de los puntos está en la cresta, el otro está en el valle.