Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2021

Un foco genera ondas armónicas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se propagan en el sentido positivo del eje $x$ con una velocidad de 250 m/s. Determine la ecuación de dichas ondas sabiendo que en el instante inicial $t=0\text{ s}$, la elongación de un punto situado a $x=3\text{ m}$ del foco es $y=-2\text{ mm}$.

Se calculan primero los tres parámetros de la onda:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 250=500\pi \text{ rad/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{250}{250}}=1\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=2\pi \text{ rad/m}$



La onda se propaga en el sentido POSITIVO del eje X, de modo que los dos términos de la fase llevan signos contrarios:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La fase inicial la fija la condición del enunciado. En $t=0$ y $x=3\text{ m}$ la elongación es $-2\text{ mm}$, es decir, el valor MÍNIMO posible: ese punto está justo en el valle de la onda.

$-A=A\text{sen}(-k\cdot 3+{\phi }_0)\Rightarrow \text{sen}(-6\pi +{\phi }_0)=-1$

$-6\pi +{\phi }_0=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow {\phi }_0=6\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Como la fase está definida salvo múltiplos de $2\pi$ y $6\pi$ lo es, queda simplemente:

${\phi }_0=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

La ecuación de la onda es, por tanto:

$y(x,t)=2\cdot {10}^{-3}\text{sen}(500\pi t-2\pi x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se comprueba la condición: para $t=0$ y $x=3$ el argumento vale $-6\pi -\pi \mathrm{/}2$, cuyo seno es $-1$, y la elongación sale $-2\text{ mm}$.