Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2023

El campo eléctrico asociado a una onda electromagnética que se propaga en un cierto medio material viene dado por la ecuación

$E(x,t)=4\text{sen}(\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}t-\mathrm{1,52}\cdot {10}^{7}x)\text{ N/C},$

donde todas las magnitudes están expresadas en unidades del SI.

a) Determine la frecuencia y la longitud de onda de esa onda.

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda.

c) Calcule el índice de refracción del medio por el cual se propaga la onda.

d) ¿En qué sentido se propaga la onda?

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que se propaga:

$E(x,t)=E_0\text{sen}(\omega t-kx)$

e identificando términos:

$E_0=4\text{ N/C}\omega =\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}\text{ rad/s}k=\mathrm{1,52}\cdot {10}^7\text{ rad/m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{onda.}}$

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}}{2\pi }}=\mathrm{5,46}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,52}\cdot {10}^7}}=\mathrm{4,13}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

La frecuencia es de $\mathrm{5,46}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ y la longitud de onda en ese medio, de 413 nm: es luz visible, en la zona del violeta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}}{\mathrm{1,52}\cdot {10}^7}}$

$v=\mathrm{2,26}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

La onda se propaga a $\mathrm{2,26}\cdot {10}^8\text{ m/s}$, menos que en el vacío, como tiene que ser en un medio material.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

El índice de refracción es, por definición, el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{2,26}\cdot {10}^8}}$

$n=\mathrm{1,33}$

El índice de refracción del medio es 1,33, que es justamente el del agua.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda?}}$



Lo dice el signo relativo de los dos términos de la fase. Un punto de fase constante cumple:

$\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}t-\mathrm{1,52}\cdot {10}^{7}x=\text{constante}\Rightarrow x=\text{constante}+\mathrm{2,26}\cdot {10}^{8}t$

es decir, ese punto se desplaza hacia valores de $x$ cada vez mayores. La onda se propaga en el sentido POSITIVO del eje X.