Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2022

El valor del campo eléctrico asociado a una onda electromagnética que se propaga en un medio material en la dirección del eje $x$ viene expresado por:

$E(x,t)=4\text{sen}(\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}t-\mathrm{1,52}\cdot {10}^{7}x)\text{ N/C},$

donde todas las magnitudes están expresadas en el SI. Calcule:

a) La frecuencia y la longitud de onda asociadas a la onda electromagnética.

b) La velocidad de propagación de la onda y el índice de refracción del medio por el cual se propaga.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que se propaga:

$E(x,t)=E_0\text{sen}(\omega t-kx)$

e identificando términos:

$E_0=4\text{ N/C}\omega =\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}\text{ rad/s}k=\mathrm{1,52}\cdot {10}^7\text{ rad/m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{asociadas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{electromagn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica.}}$

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}}{2\pi }}=\mathrm{5,46}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,52}\cdot {10}^7}}=\mathrm{4,13}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

La frecuencia es de $\mathrm{5,46}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ y la longitud de onda en ese medio, de 413 nm: es luz visible, en la zona del violeta.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga.}}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,43}\cdot {10}^{15}}{\mathrm{1,52}\cdot {10}^7}}=\mathrm{2,26}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Y el índice de refracción es, por definición, el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{2,26}\cdot {10}^8}}$

$n=\mathrm{1,33}$

La onda viaja a $\mathrm{2,26}\cdot {10}^8\text{ m/s}$ y el índice de refracción del medio es 1,33, que es justamente el del agua. Conviene recordar que la frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro: lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda, y las dos en el mismo factor $n$.