Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Demostrar que la ecuación $x^4+3x=1+\mathrm{sen}x$ tiene alguna solución real en el intervalo $[0,2]$. Probar que la solución es única. [2 puntos]

Pasamos todo a un miembro para convertir la ecuación en la búsqueda de un cero.

$f(x)=x^4+3x-1-\mathrm{sen}(x)$

Existencia. La función es continua en todo $\mathbb{R}$, por ser suma de un polinomio y una función trigonométrica, y en particular lo es en $[0,2]$. Evaluamos en los extremos:

$f(0)=0+0-1-\mathrm{sen}0=-1<0$

$f(2)=16+6-1-\mathrm{sen}2=21-\mathrm{sen}2$

Como el seno nunca pasa de $1$, se tiene $f(2)\ge 20>0$ sin necesidad de calcularlo con precisión.

$f(0)\cdot f(2)<0$

Por el teorema de Bolzano existe $c\in (0,2)$ con $f(c)=0$: la ecuación tiene solución en el intervalo.

Unicidad. Derivamos y acotamos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3-\cos (x)$

En $[0,2]$ se cumple $4x^3\ge 0$, y el coseno nunca pasa de $1$, de modo que

$f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0+3-1=2>0$

La derivada es estrictamente positiva en todo el intervalo, luego $f$ es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva: no puede anularse dos veces.

Uniendo ambas conclusiones, la ecuación tiene exactamente una solución real en $[0,2]$.