Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Calcular ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{2x-1}}{1-x}}}$. [1 punto]

b) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x-e^{-x}}{x^2+e^{-x}}}$, hallar la función primitiva suya $F(x)$ que verifique $F(0)=3$. [1 punto]

Sustituyendo aparece una indeterminación, porque los dos radicandos valen $1$ en $x=1$.

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{2x-1}}{1-x}}={\displaystyle \frac{1-1}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador, porque la diferencia de los radicandos se factoriza cómodamente:

$(x^2-x+1)-(2x-1)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{2x-1}}{1-x}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{2x-1}}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(1-x)(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{2x-1})}}$

Como $1-x=-(x-1)$, el factor $x-1$ se simplifica dejando un signo menos:

$={\displaystyle \frac{-(x-2)}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{2x-1}}}$

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{-(x-2)}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{2x-1}}}={\displaystyle \frac{1}{1+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El valor del límite es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.



Antes de integrar conviene mirar la derivada del denominador, porque coincide exactamente con el numerador:

${(x^2+e^{-x})}^{\mathrm{\prime }}=2x-e^{-x}$

La integral es, pues, del tipo ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, cuya primitiva es un logaritmo.

$\int {\displaystyle \frac{2x-e^{-x}}{x^2+e^{-x}}}dx=\ln \mid x^2+e^{-x}\mid +C$

Como el denominador es suma de un cuadrado y una exponencial, es siempre positivo y podemos prescindir del valor absoluto.

Imponemos ahora la condición $F(0)=3$:

$F(0)=\ln (0+e^0)+C=\ln 1+C=C=3$

$F(x)=\ln (x^2+e^{-x})+3$