Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Conteste justificadamente los siguientes apartados.

a) Calcule el siguiente límite, con $a\mathrm{\ne }0$: [1 punto]

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{2(\frac{x}{\mathrm{sen}x}-1)}{a^2{x}^2}}$

b) Sea la función $f(x)=x^3(x-1{)}^2+1$. Demuestre que la ecuación $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ tiene alguna solución en $(0,1)$. [1 punto]

Al sustituir se obtiene la indeterminación $\frac{0}{0}$, porque $\frac{x}{\mathrm{sen}x}\to 1$. Conviene reunir primero el numerador en una sola fracción para dejar el cociente en forma manejable.

${\displaystyle \frac{x}{\mathrm{sen}x}}-1={\displaystyle \frac{x-\mathrm{sen}x}{\mathrm{sen}x}}$

$L={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2(x-\mathrm{sen}x)}{a^2{x}^2\mathrm{sen}x}}$

Cuando $x\to 0$ se puede sustituir $\mathrm{sen}x$ por $x$ en el denominador, porque son infinitésimos equivalentes:

$L={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2(x-\mathrm{sen}x)}{a^2{x}^3}}$

Sigue siendo $\frac{0}{0}$, así que se aplica la regla de L'Hôpital tres veces:

$L={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2(1-\cos x)}{3a^2{x}^2}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}x}{6a^{2}x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2\cos x}{6a^2}}$

$L={\displaystyle \frac{2}{6a^2}}={\displaystyle \frac{1}{3a^2}}$

El límite vale ${\displaystyle \frac{1}{3a^2}}$, que está bien definido porque el enunciado exige $a\mathrm{\ne }0$.



Se aplica el teorema de Rolle, comprobando sus tres hipótesis en el intervalo $[0,1]$.

La función es polinómica, luego es continua en $[0,1]$ y derivable en $(0,1)$.

Falta ver que toma el mismo valor en los extremos:

$f(0)=0^3(0-1{)}^2+1=1$

$f(1)=1^3(1-1{)}^2+1=1$

$f(0)=f(1)=1$

Se cumplen las tres hipótesis, de modo que el teorema de Rolle garantiza que existe al menos un $c\in (0,1)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Aunque no lo pide el enunciado, ese valor se puede localizar. Derivando y sacando factor común:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2(x-1{)}^2+x^3\cdot 2(x-1)=x^2(x-1)[3(x-1)+2x]$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2(x-1)(5x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x={\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$

La única raíz interior es $c={\displaystyle \frac{3}{5}}$, que es la que anuncia el teorema.