Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites: [2 puntos]

i) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-x}{x-\mathrm{sen}x}}$

ii) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{4x^3-6x^2}{4x^3-1}\right)}^{\frac{x^2+1}{x}}}$

Al sustituir, numerador y denominador se anulan: es una indeterminación $\frac{0}{0}$, que se resuelve aplicando la regla de L'Hôpital tantas veces como haga falta.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{tg}x-x}{x-\mathrm{sen}x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1}{1-\cos x}}$

Sigue siendo $\frac{0}{0}$. Conviene simplificar antes de volver a derivar, reduciendo el numerador a común denominador:

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-1={\displaystyle \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{{\cos }^{2}x(1-\cos x)}}$

Ahora se usa que ${\mathrm{sen}}^{2}x=1-{\cos }^{2}x=(1-\cos x)(1+\cos x)$, lo que permite cancelar el factor que se anula:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{{\cos }^{2}x(1-\cos x)}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{1+\cos x}{{\cos }^{2}x}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$



La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es la indeterminación del número $e$.

$\lim u(x{)}^{v(x)}=e^{\lim v(x)[u(x)-1]}$

$u(x)-1={\displaystyle \frac{4x^3-6x^2}{4x^3-1}}-1={\displaystyle \frac{-6x^2+1}{4x^3-1}}$

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{-6x^2+1}{4x^3-1}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(x^2+1)(-6x^2+1)}{x(4x^3-1)}}$

Numerador y denominador tienen grado 4, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

$={\displaystyle \frac{-6}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{4x^3-6x^2}{4x^3-1}}\right)}^{\frac{x^2+1}{x}}=e^{-\frac{3}{2}}\approx \mathrm{0,2231}$

Los límites pedidos valen $2$ y $e^{-3\mathrm{/}2}$.