Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Determine, si existe, el valor de $a$ de tal manera que: [2 puntos]

i) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{9x^2+ax+1}-(3x-1))=2}$

ii) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{3x+a}{3x-1}\right)}^x=e}$

Los dos sumandos tienden a infinito, de modo que aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ con una raíz. Se elimina multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.

$\sqrt{9x^2+ax+1}-(3x-1)={\displaystyle \frac{(9x^2+ax+1)-(3x-1{)}^2}{\sqrt{9x^2+ax+1}+(3x-1)}}$

Se desarrolla el numerador:

$(9x^2+ax+1)-(9x^2-6x+1)=(a+6)x$

En el denominador, la raíz se comporta como $3x$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$, así que numerador y denominador tienen grado 1 y el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(a+6)x}{\sqrt{9x^2+ax+1}+3x-1}}={\displaystyle \frac{a+6}{3+3}}={\displaystyle \frac{a+6}{6}}$

Se impone que valga 2:

${\displaystyle \frac{a+6}{6}}=2\Rightarrow a+6=12\Rightarrow a=6$



La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es la indeterminación del número $e$, que se resuelve con la regla habitual.

$\lim u(x{)}^{v(x)}=e^{\lim v(x)[u(x)-1]}$

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}x({\displaystyle \frac{3x+a}{3x-1}}-1)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}x\cdot {\displaystyle \frac{3x+a-3x+1}{3x-1}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(a+1)x}{3x-1}}={\displaystyle \frac{a+1}{3}}$

Por tanto el límite vale $e^{\frac{a+1}{3}}$, y se impone que sea $e$:

${\displaystyle \frac{a+1}{3}}=1\Rightarrow a=2$

Los valores pedidos son $a=6$ en el primer límite y $a=2$ en el segundo.