Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites: [2 puntos]

i) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }(\cos 2x{)}^{\frac{3}{x^2}}}$

ii) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}$

Se sustituye para reconocer la indeterminación:

$(\cos 0{)}^{\frac{3}{0}}=1^{\mathrm{\infty }}$

Es la indeterminación del número $e$, y se resuelve con la regla habitual:

$\lim u(x{)}^{v(x)}=e^{\lim v(x)[u(x)-1]}$

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{3}{x^2}}(\cos 2x-1)=3{\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\cos 2x-1}{x^2}}$

El límite que queda es una indeterminación $\frac{0}{0}$; aplicando la regla de L'Hôpital dos veces:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\cos 2x-1}{x^2}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-2\mathrm{sen}2x}{2x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-4\cos 2x}{2}}=-2$

${\lim }_{x\to 0}(\cos 2x{)}^{\frac{3}{x^2}}=e^{3\cdot (-2)}=e^{-6}\approx \mathrm{0,00248}$



Aquí la base tiende a infinito y el exponente a cero, de modo que la indeterminación es ${\mathrm{\infty }}^0$ y no la del número $e$. Se toman logaritmos, llamando $L$ al límite:

$\ln L={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}$

Esa expresión es una indeterminación $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, y por la regla de L'Hôpital:

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\frac{1}{1+x}}{1}}=0$

$\ln L=0\Rightarrow L=e^0=1$

Los límites pedidos valen $e^{-6}$ y $1$.