Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites: [2 puntos]

i) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{(e^x+x^3)}^{\frac{1}{x}}}$

ii) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{x^2-1}{x+2}-\frac{x^2+1}{x-2})}$

Se sustituye para reconocer la indeterminación:

${(e^0+0)}^{\frac{1}{0}}=1^{\mathrm{\infty }}$

Es la indeterminación del número $e$. Se aplica la regla habitual, según la cual si $\lim u(x)=1$ y $\lim v(x)=\mathrm{\infty }$, entonces

$\lim u(x{)}^{v(x)}=e^{\lim v(x)[u(x)-1]}$

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{1}{x}}(e^x+x^3-1)={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}+{\lim }_{x\to 0}{x}^2$

El segundo sumando vale 0. El primero es una indeterminación $\frac{0}{0}$ que se resuelve por la regla de L'Hôpital:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x}{1}}=1$

${\lim }_{x\to 0}{(e^x+x^3)}^{\frac{1}{x}}=e^1=e$



Cada fracción tiende a infinito, así que aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. Se elimina reduciendo a común denominador.

${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+2}}-{\displaystyle \frac{x^2+1}{x-2}}={\displaystyle \frac{(x^2-1)(x-2)-(x^2+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}}$

Se desarrolla el numerador:

$(x^3-2x^2-x+2)-(x^3+2x^2+x+2)=-4x^2-2x$

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-4x^2-2x}{x^2-4}}=-4$

porque numerador y denominador tienen el mismo grado y el límite es el cociente de los coeficientes principales.

Los límites pedidos valen $e$ y $-4$.