Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2020

El isótopo más común del uranio $(Z=92)$ es el ${}^{238}\text{U}$, tiene un periodo de semidesintegración de $\mathrm{4,47}\cdot {10}^9$ años y decae a ${}^{234}\text{Th}$ mediante emisión de una partícula alfa.

a) Escriba la reacción de decaimiento prevista para el ${}^{238}\text{U}$ señalando el número atómico del Torio. [1 punto]

b) Calcule la constante de desintegración radiactiva. [1 punto]

c) Determine el tiempo que debe transcurrir para que la actividad de una muestra de un mineral que contiene ${}^{238}\text{U}$ se reduzca a la mitad. [0,5 puntos]

Dato: $N_A=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}\acute{\text{a}}\text{tomos}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{decaimiento}}\mathbf{\text{prevista}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">238</mn></msup><mtext>U</mtext></mrow>}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{alando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Torio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En una desintegración alfa el núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio, ${}_2^4\text{He}$. En toda reacción nuclear se conservan el número másico y el número atómico:

${}_{92}^{238}\text{U }⟶{}_Z^A\text{Th}+{}_2^4\text{He}$

$238=A+4\Rightarrow A=234$

$92=Z+2\Rightarrow Z=90$

${}_{92}^{238}\text{U }⟶{}_{90}^{234}\text{Th}+{}_2^4\text{He}$

El número atómico del torio es $Z=90$, dos unidades menor que el del uranio, tal y como corresponde a la emisión de una partícula alfa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad, de donde:

$\frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$





$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}=\frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{4,47}\cdot {10}^9}$

$\lambda =\mathrm{1,55}\cdot {10}^{-10}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

Y en unidades del Sistema Internacional:

$\lambda =\frac{\mathrm{1,55}\cdot {10}^{-10}}{365\cdot 24\cdot 3600}=\mathrm{4,92}\cdot {10}^{-18}{\text{s}}^{-1}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mineral}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">238</mn></msup><mtext>U</mtext></mrow>}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La actividad es proporcional al número de núcleos presentes, $A=\lambda N$, de modo que decae con la misma ley exponencial:

$\frac{A}{A_0}=\frac{N}{N_0}=e^{-\lambda t}$

Que la actividad se reduzca a la mitad es, por tanto, exactamente la misma condición que define el período de semidesintegración:

$\frac{1}{2}=e^{-\lambda t}\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{\lambda }=T_{1\mathrm{/}2}$

$t=\mathrm{4,47}\cdot {10}^9\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Deben transcurrir $\mathrm{4,47}\cdot {10}^9$ años, el propio período de semidesintegración del isótopo. Es un valor comparable a la edad de la Tierra, y por eso el ${}^{238}\text{U}$ sigue presente en los minerales y sirve para datarlos.