Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2024

Una muestra radiactiva disminuye de ${10}^5$ a $\mathrm{7,72}\cdot {10}^4$ núcleos en 3 días. Hallar:

a) La constante radiactiva y el periodo de semidesintegración. (1 punto)
b) La actividad de la muestra transcurridos 10 días desde que tenía ${10}^5$ núcleos. (1 punto)
c) La muestra a estudio es ${}_{53}^{131}\text{I}$ y se desintegra transformándose en ${}_{54}^{131}\text{Xe}$. Indica el tipo de desintegración. Escríbela. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La ley de desintegración radiactiva dice que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente con el tiempo:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Se despeja la constante radiactiva tomando logaritmos.





${\displaystyle \frac{N}{N_0}}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{1}{t}}\ln {\displaystyle \frac{N_0}{N}}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{3}}\ln {\displaystyle \frac{{10}^5}{\mathrm{7,72}\cdot {10}^4}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2588}}{3}}=\mathrm{8,63}\cdot {10}^{-2}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad de los núcleos:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6931}}{\mathrm{8,63}\cdot {10}^{-2}}}=\mathrm{8,04}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La constante radiactiva vale $\mathrm{8,63}\cdot {10}^{-2}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$ y el periodo de semidesintegración, $\mathrm{8,04}$ días.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{transcurridos}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">5</mn></msup>}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Primero se calculan los núcleos que quedan al cabo de esos diez días:

$N={10}^5{e}^{-\mathrm{8,63}\cdot {10}^{-2}\cdot 10}={10}^5\cdot \mathrm{0,4221}=\mathrm{4,22}\cdot {10}^4\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo:

$A=\lambda N$

y para que salga en becquerelios hay que pasar la constante radiactiva a segundos:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{8,63}\cdot {10}^{-2}}{86.400}}=\mathrm{9,98}\cdot {10}^{-7}{\text{s}}^{-1}$

$A=\mathrm{9,98}\cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{4,22}\cdot {10}^4=\mathrm{4,21}\cdot {10}^{-2}\text{ Bq}$

La actividad a los diez días es de $\mathrm{4,21}\cdot {10}^{-2}\text{ Bq}$: apenas una desintegración cada veinticuatro segundos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{estudio}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">53</mn><mn\; mathvariant="bold">131</mn></msubsup><mtext>I</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desintegra}}\mathbf{\text{transform}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">54</mn><mn\; mathvariant="bold">131</mn></msubsup><mtext>Xe</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Indica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Escr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{bela.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se comparan los dos núcleos: el número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad.

$A=131\to 131Z=53\to 54$

Eso es lo que caracteriza a una desintegración $\mathbf{\text{beta}}\mathbf{\text{menos}}$: un neutrón del núcleo se transforma en un protón emitiendo un electrón y un antineutrino, de modo que el número de nucleones se mantiene y la carga nuclear sube en uno.

${}_{53}^{131}\text{I }⟶{}_{54}^{131}\text{Xe}+{}_{-1}^{0}e+\bar{\nu }$