Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2024

Tenemos 8 g de una muestra radiactiva de ${}_{53}^{131}\text{I}$ cuya vida media 8,02 días. Se desintegra emitiendo radiación ${\beta }^{-}$ y se transforma en $\text{Xe}$:

a) Escribe la ecuación de desintegración. (0,5 puntos)
b) Calcular el periodo de semidesintegración y la constante radiactiva. (0,75 puntos)
c) Calcula la masa al cabo de 3 días. (0,75 puntos)
d) ¿Cuál será su actividad al cabo de esos 3 días? (0,5 puntos)

Dato: número de Avogadro $=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escribe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$



En una desintegración ${\beta }^{-}$ un neutrón del núcleo se transforma en un protón, emitiendo un electrón y un antineutrino. El número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad.

${}_{53}^{131}\text{I }⟶{}_{54}^{131}\text{Xe}+{}_{-1}^{0}e+\bar{\nu }$

El yodo 131 se convierte, en efecto, en xenón 131.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{radiactiva.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La vida media es el tiempo de vida promedio de un núcleo y es la inversa de la constante radiactiva:

$\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{1}{\tau }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{8,02}}}=\mathrm{0,125}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad de los núcleos:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6931}}{\mathrm{0,125}}}=\mathrm{5,56}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La constante radiactiva vale $\mathrm{0,125}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$ y el periodo de semidesintegración, $\mathrm{5,56}$ días.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La masa sin desintegrar es proporcional al número de núcleos, así que sigue la misma ley exponencial:

$m=m_0{e}^{-\lambda t}=8e^{-\mathrm{0,125}\cdot 3}$

$m=8\cdot \mathrm{0,6879}=\mathrm{5,50}\text{ g}$

Al cabo de tres días quedan $\mathrm{5,50}\text{ g}$ de yodo 131.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Primero se cuenta cuántos núcleos son esos gramos, con el número de Avogadro y el número másico del isótopo:

$N={\displaystyle \frac{\mathrm{5,50}}{131}}\cdot \mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}=\mathrm{2,53}\cdot {10}^{22}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, de modo que la constante radiactiva hay que pasarla a ${\text{s}}^{-1}$:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,125}}{86.400}}=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-6}{\text{s}}^{-1}$

$A=\lambda N=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{2,53}\cdot {10}^{22}$

$A=\mathrm{3,65}\cdot {10}^{16}\text{ Bq}$

La actividad a los tres días es de $\mathrm{3,65}\cdot {10}^{16}\text{ Bq}$, una cifra enorme porque ocho gramos contienen del orden de ${10}^{22}$ núcleos.