Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2023

(A) Leyes del desplazamiento radiactivo (emisiones $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$). (1 punto)

(B) En el accidente de Fukushima, se estima que se pudo escapar una cantidad de Sr-90 con una actividad 900 TBq. Si el periodo de semidesintegración es de 30 años (1 año = 365 días):

a) ¿Cuántos núcleos se emitieron? (0,5 puntos)
b) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que quede la décima parte de la cantidad de Sr-90 emitida? (0,5 puntos)
c) ¿Cuál será la actividad del Sr-90 en ese momento? (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Leyes}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{desplazamiento}}\mathbf{\text{radiactivo}}\mathbf{\text{(emisiones}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{,}}\mathit{\beta }\mathbf{\text{y}}\mathit{\gamma }\mathbf{\text{).}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Las leyes de Soddy y Fajans dicen cómo cambia un núcleo al emitir cada tipo de radiación.

$\mathbf{\text{Emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alfa}}$. El núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio: pierde dos protones y dos neutrones, de modo que el número atómico baja en dos unidades y el másico en cuatro.

${}_Z^A\text{X }⟶{}_{Z-2}^{A-4}\text{Y}+{}_2^4\text{He}$

$\mathbf{\text{Emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{beta}}\mathbf{\text{menos}}$. Un neutrón se transforma en un protón emitiendo un electrón y un antineutrino: el número másico no cambia y el atómico sube en una unidad.

${}_Z^A\text{X }⟶{}_{Z+1}^A\text{Y}+{}_{-1}^{0}e+\bar{\nu }$

$\mathbf{\text{Emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gamma}}$. El núcleo, que ha quedado excitado tras una desintegración anterior, se desexcita emitiendo un fotón muy energético. No cambian ni el número atómico ni el másico: sigue siendo el mismo isótopo del mismo elemento.

${}_Z^A{\text{X}}^{\ast }⟶{}_Z^A\text{X}+\gamma$

En los tres casos se conservan la carga y el número de nucleones, que es lo que permite ajustar cualquier reacción nuclear.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{emitieron?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$



La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos sin desintegrar:

$A=\lambda N\Rightarrow N={\displaystyle \frac{A}{\lambda }}$

y la constante radiactiva se obtiene del periodo de semidesintegración.

Se pasa el periodo a segundos:

$T_{1\mathrm{/}2}=30\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}\cdot 365\cdot 86.400=\mathrm{9,46}\cdot {10}^8\text{ s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6931}}{\mathrm{9,46}\cdot {10}^8}}=\mathrm{7,33}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

Y la actividad, a becquerelios:

$A=900\text{ TBq}=9\cdot {10}^{14}\text{ Bq}$

$N={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^{14}}{\mathrm{7,33}\cdot {10}^{-10}}}=\mathrm{1,23}\cdot {10}^{24}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Se escaparon del orden de $\mathrm{1,23}\cdot {10}^{24}$ núcleos de estroncio 90, unos dos moles.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{pasar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quede}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cima}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Sr-90}}\mathbf{\text{emitida?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se aplica la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \mathrm{0,1}=e^{-\lambda t}$

$t={\displaystyle \frac{\ln 10}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,303}}{\mathrm{7,33}\cdot {10}^{-10}}}=\mathrm{3,14}\cdot {10}^9\text{ s}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{3,14}\cdot {10}^9}{365\cdot 86.400}}=\mathrm{99,7}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Habrá que esperar unos $\mathrm{99,7}$ años, algo más de tres periodos de semidesintegración.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sr-90}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{momento?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La actividad es proporcional al número de núcleos, así que se reduce en la misma proporción:

$A={\displaystyle \frac{A_0}{10}}={\displaystyle \frac{900}{10}}=90\text{ TBq}$

$A=9\cdot {10}^{13}\text{ Bq}$

La actividad será entonces de $9\cdot {10}^{13}\text{ Bq}$, la décima parte de la inicial.