Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2025

Un paciente se somete a una prueba diagnóstica en la que se le inyecta un fármaco que contiene tecnecio-99 metaestable (${}^{99}\text{Tc-m}$), cuyo periodo de semidesintegración es de 6 h. Este se fija en el órgano de interés y se detecta la emisión radiactiva que produce. La actividad inicial de la sustancia inyectada debe ser $5\cdot {10}^8$ Bq. Calcule:

a) La masa de isótopo radiactivo que hay que inyectarle. (1 punto)
b) El tiempo que ha de transcurrir para que la actividad del isótopo sea de ${10}^4$ Bq. (1 punto)

Dato: $N_{\text{A}}=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{radiactivo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{inyectarle.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar:

$A=\lambda N$

y la constante de desintegración sale del periodo de semidesintegración, pasado a segundos:

$T_{1\mathrm{/}2}=6\text{ h}=\mathrm{2,16}\cdot {10}^4\text{ s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}=\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}{\text{s}}^{-1}$





De la actividad inicial se despeja el número de núcleos que hacen falta:

$N={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}={\displaystyle \frac{5\cdot {10}^8}{\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}}}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^{13}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Y de ahí la masa, con una masa molar de 99 g/mol:

$m={\displaystyle \frac{N}{N_A}}\cdot M={\displaystyle \frac{\mathrm{1,56}\cdot {10}^{13}}{\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}}}\cdot 99=\mathrm{2,56}\cdot {10}^{-9}\text{ g}$

Basta con inyectar unos $\mathrm{2,56}\cdot {10}^{-9}$ gramos, es decir, dos nanogramos y medio: la cantidad de materia radiactiva que se administra en una prueba de este tipo es diminuta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">4</mn></msup>}\mathbf{\text{Bq.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La actividad decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se despeja el tiempo tomando logaritmos:

$t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}}}\ln {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^8}{{10}^4}}$

$t={\displaystyle \frac{\ln (5\cdot {10}^4)}{\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}}}=\mathrm{3,37}\cdot {10}^5\text{ s}$

Son unos $\mathrm{3,37}\cdot {10}^5$ segundos, es decir, algo menos de cuatro días, o unos quince periodos de semidesintegración.