Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2020

Se conocen más de 40 isótopos del polonio, todos ellos radiactivos. Uno de ellos, el isótopo ${}^{210}\text{Po}$, decae a un isótopo estable del plomo (Pb) emitiendo una partícula alfa con un período de semidesintegración de $\mathrm{138,4}$ días.

a) Escriba la reacción nuclear descrita en el enunciado anterior. [0,5 puntos]

Calcule para una muestra radiactiva de ${}^{210}\text{Po}$:

b) La vida media y la constante de desintegración radiactiva. [1 punto]

c) El número de moles del isótopo radiactivo necesarios para una actividad inicial de $\mathrm{1,75}\cdot {10}^{13}\text{ Bq}$. [1 punto]

Dato: $N_A=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}\acute{\text{a}}\text{tomos}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{nuclear}}\mathbf{\text{descrita}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{enunciado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una desintegración alfa el núcleo emite un núcleo de helio, ${}_2^4\text{He}$. El polonio tiene número atómico $Z=84$, y en toda reacción nuclear se conservan el número másico y el número atómico:

${}_{84}^{210}\text{Po }⟶{}_Z^A\text{Pb}+{}_2^4\text{He}$

$210=A+4\Rightarrow A=206$

$84=Z+2\Rightarrow Z=82$

${}_{84}^{210}\text{Po }⟶{}_{82}^{206}\text{Pb}+{}_2^4\text{He}$

El isótopo estable que se obtiene es el ${}^{206}\text{Pb}$, en efecto plomo, con $Z=82$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

y el período de semidesintegración se relaciona con la constante de desintegración según:

$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln 2}{\lambda }\Rightarrow \lambda =\frac{\ln 2}{\mathrm{138,4}}$





$\lambda =\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-3}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda =\frac{\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-3}}{86400}=\mathrm{5,80}\cdot {10}^{-8}{\text{s}}^{-1}$

Y la vida media es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau =\frac{1}{\lambda }=\frac{\mathrm{138,4}}{\ln 2}$

$\tau =\mathrm{199,7}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{moles}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{radiactivo}}\mathbf{\text{necesarios}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1,75</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">13</mn></msup><mtext> Bq</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda N\Rightarrow N=\frac{A}{\lambda }$

Hay que usar la constante de desintegración en ${\text{s}}^{-1}$, porque el becquerel es una desintegración por segundo:

$N=\frac{\mathrm{1,75}\cdot {10}^{13}}{\mathrm{5,80}\cdot {10}^{-8}}=\mathrm{3,02}\cdot {10}^{20}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Y el número de moles se obtiene dividiendo entre el número de Avogadro:

$n=\frac{N}{N_A}=\frac{\mathrm{3,02}\cdot {10}^{20}}{\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}}$

$n=\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-4}\text{ mol}$

Hacen falta $\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-4}\text{ mol}$ de ${}^{210}\text{Po}$, que corresponden a algo más de $\mathrm{0,1}\text{ g}$ de isótopo. Con esa cantidad tan pequeña se alcanza una actividad enorme, consecuencia de que su período de semidesintegración es corto.