Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2025

El periodo de semidesintegración del Carbono 14 es de 5570 años. Si el análisis de una muestra de una momia egipcia revela que presenta las tres cuartas partes de la radiactividad de un ser vivo, calcular:

a) (0.5 puntos) La constante radiactiva del C-14.
b) (1.25 puntos) ¿Cuál es la edad de la momia?
c) (0.75 puntos) Si el número de átomos de C-14 presentes en la momia es de ${10}^5$, ¿cuántos átomos había inicialmente?

Datos: $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $q_{e^{-}}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $m_{e^{-}}=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{C-14.}}$










La ley de desintegración radiactiva dice que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad, de modo que:

${\displaystyle \frac{1}{2}}=e^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$





$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{5.570}}=\mathrm{1,24}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

La constante radiactiva del carbono 14 es de $\mathrm{1,24}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{momia?}}$

La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos presentes, así que decrece con la misma ley:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Que la momia presente las tres cuartas partes de la radiactividad de un ser vivo significa:

${\displaystyle \frac{A}{A_0}}=\mathrm{0,75}$

$\mathrm{0,75}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln (\mathrm{0,75})=-\lambda t$

$t={\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2877}}{\mathrm{1,24}\cdot {10}^{-4}}}$

$t=\mathrm{2,31}\cdot {10}^3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

La momia tiene unos $2.312\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$. El resultado es coherente con la gráfica: todavía no ha transcurrido ni medio periodo de semidesintegración.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{C-14}}\mathbf{\text{presentes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{momia}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">5</mn></msup>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{hab}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{inicialmente?}}$

El número de núcleos ha disminuido en la misma proporción que la actividad, así que:

${\displaystyle \frac{N}{N_0}}=\mathrm{0,75}\Rightarrow N_0={\displaystyle \frac{N}{\mathrm{0,75}}}$

$N_0={\displaystyle \frac{{10}^5}{\mathrm{0,75}}}=\mathrm{1,33}\cdot {10}^5\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Inicialmente la muestra tenía $\mathrm{1,33}\cdot {10}^5$ átomos de carbono 14; se han desintegrado unos $\mathrm{3,3}\cdot {10}^4$ en esos 2.312 años.