Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2025

El tecnecio-99 es un isótopo utilizado en Medicina Nuclear ya que emite radiación gamma que puede ser captada por un detector para producir imágenes del interior del cuerpo. Su vida media es de aproximadamente 6 horas; lo suficientemente larga para permitir la realización de pruebas de diagnóstico, pero lo suficientemente corta para minimizar la exposición a la radiación del paciente.

a) (0.5 puntos) Explicar en qué consiste la radiación gamma.
b) (1.5 puntos) Si se inyecta a un paciente una dosis de Tc-99, ¿al cabo de cuánto tiempo quedará en el organismo sólo el 10 % de la cantidad inicial?
c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración del Tc-99?

Dato: $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Explicar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{consiste}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gamma.}}$



La radiación gamma es radiación electromagnética de longitud de onda muy corta, es decir, fotones de energía muy alta, típicamente por encima de los ${10}^5\text{ eV}$.

La emite un núcleo que, tras una desintegración alfa o beta, ha quedado en un estado excitado: al caer a su estado fundamental libera el exceso de energía en forma de un fotón. Como no se emiten ni nucleones ni carga, la emisión gamma $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{cambia}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sico}}$: el núcleo sigue siendo el mismo elemento y el mismo isótopo.

${}_Z^A{\text{X}}^{\ast }⟶{}_Z^A\text{X}+\gamma$

Es, con diferencia, la más penetrante de las tres radiaciones, y eso es justamente lo que se aprovecha en medicina nuclear: los fotones atraviesan el cuerpo y pueden captarse desde fuera con un detector.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{inyecta}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{paciente}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{dosis}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Tc-99,}}\mathbf{\text{¿al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{quedar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{organismo}}\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{inicial?}}$

La vida media $\tau$ es el tiempo de vida promedio de un núcleo y es la inversa de la constante radiactiva:

$\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{1}{\tau }}={\displaystyle \frac{1}{6}}{\text{h}}^{-1}=\mathrm{0,167}{\text{h}}^{-1}$

Se aplica la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

$\mathrm{0,10}{N}_0=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \ln (\mathrm{0,10})=-\lambda t$

$t={\displaystyle \frac{\ln 10}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,303}}{\mathrm{0,167}}}=\mathrm{13,8}\text{ h}$

Al cabo de unas $\mathrm{13,8}\text{ h}$ solo queda el 10 % del tecnecio inyectado. Ese es justamente el equilibrio que busca la medicina nuclear: tiempo suficiente para hacer la prueba y lo bastante corto para que el paciente no siga irradiado al día siguiente.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Tc-99?}}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad de los núcleos:

${\displaystyle \frac{1}{2}}=e^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{0,167}}}=\mathrm{4,16}\text{ h}$

El periodo de semidesintegración es de $\mathrm{4,16}\text{ h}$, menor que la vida media, como siempre ocurre: la relación entre ambos es el factor $\ln 2$.