Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2022

El ${}^{14}\text{C}$ es el isótopo radiactivo del carbono, comúnmente denominado carbono-14, muy empleado en métodos de datación absoluta de materia orgánica fósil y cuyo período de semidesintegración es de 5 760 años. Se dispone de una muestra de dicho isótopo con una masa inicial de 10 mg.

a) Calcule la vida media del isótopo ${}^{14}\text{C}$ y la masa que hay al cabo de 500 años. [1 punto]

b) ¿Cuánto se reduce la actividad de dicha muestra tras transcurrir un tiempo igual a $2\mathrm{/}3$ de la vida media del isótopo? [1 punto]

Dato: $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">14</mn></msup><mtext>C</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

y el período de semidesintegración se relaciona con la constante de desintegración según:

$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln 2}{\lambda }\Rightarrow \lambda =\frac{\ln 2}{5760}=\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$





La vida media es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau =\frac{1}{\lambda }=\frac{5760}{\ln 2}$

$\tau =8310\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

La masa es proporcional al número de núcleos, así que decae con la misma ley:

$m=m_0{e}^{-\lambda t}=10\cdot e^{-\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-4}\cdot 500}$

$m=10\cdot e^{-\mathrm{0,0602}}=\mathrm{9,42}\text{ mg}$

La vida media del ${}^{14}\text{C}$ es de $8310$ años, y al cabo de $500$ años quedan $\mathrm{9,42}\text{ mg}$ de los $10\text{ mg}$ iniciales: en un tiempo tan corto frente al período de semidesintegración apenas se desintegra un $6\mathrm{\%}$ de la muestra.



La actividad es proporcional al número de núcleos presentes, $A=\lambda N$, de modo que decae con la misma exponencial:

$\frac{A}{A_0}=e^{-\lambda t}$

El tiempo transcurrido es $t={\displaystyle \frac{2}{3}}\tau ={\displaystyle \frac{2}{3\lambda }}$, y al sustituirlo el producto $\lambda t$ queda adimensional y sin depender del isótopo:

$\lambda t=\lambda \cdot \frac{2}{3\lambda }=\frac{2}{3}$

$\frac{A}{A_0}=e^{-2\mathrm{/}3}=\mathrm{0,513}$

La actividad se reduce al $\mathrm{51,3}\mathrm{\%}$ de su valor inicial, es decir, disminuye un $\mathrm{48,7}\mathrm{\%}$. El resultado no depende de cuál sea el isótopo: transcurridos dos tercios de la vida media, cualquier muestra radiactiva conserva siempre la misma fracción de su actividad.