Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2021

El periodo de semidesintegración de un átomo de uranio es de 4 500 millones de años y el del isótopo ${}^{51}\text{Cr}$ de 27 días.

a) Determine la vida media de un átomo de uranio. [1 punto]

b) Si tenemos un mol de átomos de ${}^{51}\text{Cr}$, ¿cuántos átomos quedarán transcurridos 5 meses? [1 punto]

Dato: $N_A=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}\acute{\text{a}}\text{tomos}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uranio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad:

$\frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$





Y la vida media es la inversa de la constante de desintegración, es decir, el período dividido entre $\ln 2$:

$\tau =\frac{1}{\lambda }=\frac{T_{1\mathrm{/}2}}{\ln 2}=\frac{4500\cdot {10}^6}{\mathrm{0,693}}$

$\tau =\mathrm{6,49}\cdot {10}^9\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

La vida media del uranio es de $\mathrm{6,49}\cdot {10}^9$ años, algo más que la edad del Sistema Solar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{tenemos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mol}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">51</mn></msup><mtext>Cr</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{quedar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{transcurridos}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{meses?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El número inicial de átomos es el número de Avogadro, porque se parte de un mol:

$N_0=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

La constante de desintegración del ${}^{51}\text{Cr}$ se obtiene de su período de semidesintegración:

$\lambda =\frac{\ln 2}{27}=\mathrm{2,57}\cdot {10}^{-2}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

Tomando los cinco meses como $150$ días, se aplica la ley de desintegración:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}\cdot e^{-\mathrm{2,57}\cdot {10}^{-2}\cdot 150}$

$N=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}\cdot e^{-\mathrm{3,85}}$

$N=\mathrm{1,28}\cdot {10}^{22}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

Al cabo de cinco meses quedan $\mathrm{1,28}\cdot {10}^{22}$ átomos de ${}^{51}\text{Cr}$, algo más de un $2\mathrm{\%}$ de los iniciales: en $150$ días caben unos cinco períodos y medio de semidesintegración.