Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 2\end{array}\right)$,

a) Calcula $A\cdot B\cdot C^T$. (0,75 puntos)

b) Calcula $\frac{1}{3}{B}^2-I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (0,75 puntos)

c) Razona si se puede calcular $(A-B)-C$ y $B\cdot C$ (no es necesario realizar las operaciones). (0,5 puntos)

La matriz $C$ es una fila de orden $1\times 3$, luego su traspuesta es una columna de orden $3\times 1$ y el producto se puede encadenar. Empezamos por las dos matrices cuadradas.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 2& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

Y multiplicamos el resultado por la columna:

$A\cdot B\cdot C^T=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 2& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+2-2\\ 0+2-2\\ 0+2+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$



Calculamos primero el cuadrado de $B$:

$B^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -1& 0& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$

Multiplicamos por el escalar y restamos la identidad:

${\displaystyle \frac{1}{3}}{B}^2-I={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -1& 0& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

${\displaystyle \frac{1}{3}}{B}^2-I=\left(\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& -1& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{3}}& -1\end{array}\right)$



Basta mirar los órdenes de las matrices. Dos matrices se pueden sumar o restar solo si tienen el mismo orden, y se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.

$A-B$ sí se puede hacer, porque las dos son de orden $3\times 3$, y el resultado es de orden $3\times 3$. Pero $C$ es de orden $1\times 3$, así que $(A-B)-C$ no se puede calcular: los órdenes no coinciden.

$B\cdot C$ tampoco se puede calcular: $B$ tiene 3 columnas y $C$ tiene 1 fila, y esos dos números han de ser iguales.