Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Dadas las matrices $M=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 1\end{array}\right)$ y $N=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$ comprueba que $(M\cdot N{)}^{-1}=N^{-1}\cdot M^{-1}$. (1 punto)

b) Resuelve la ecuación $M\cdot X=N$. (0,5 puntos)

Calculamos los dos miembros por separado. Para el primero necesitamos el producto:

$M\cdot N=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2-3& 4+3\\ 1+1& -2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 7\\ 2& -3\end{array}\right)$

Su determinante no es nulo, así que tiene inversa. Para una matriz de orden 2 usamos la fórmula

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\cdot N\mathrm{\mid }=15-14=1\Rightarrow (M\cdot N{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& -7\\ -2& -5\end{array}\right)$

Para el segundo miembro calculamos las dos inversas por separado:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-2+3=1\Rightarrow M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }N\mathrm{\mid }=-1+2=1\Rightarrow N^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$

$N^{-1}\cdot M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1-2& -3-4\\ -1-1& -3-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -7\\ -2& -5\end{array}\right)$

Las dos matrices coinciden elemento a elemento, luego se cumple la igualdad. Obsérvese que el orden se invierte: la inversa de un producto es el producto de las inversas cambiadas de orden.



Como la incógnita está multiplicada por la izquierda, despejamos multiplicando por $M^{-1}$ por ese mismo lado:

$M^{-1}\cdot M\cdot X=M^{-1}\cdot N\Rightarrow X=M^{-1}\cdot N$

Usamos la inversa ya calculada en el apartado anterior:

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+3& -2-3\\ -1-2& 2+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 4\end{array}\right)$