Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 6& 1& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& 2\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -4& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

a) Calcula $M=A\cdot C-(B-I{)}^T$ siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0,75 puntos)

b) Calcula, si es posible, la matriz $X$ tal que $X\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\end{array}\right)$. (0,75 puntos)

La matriz $A$ es de orden $2\times 3$ y $C$ de orden $3\times 2$, así que el producto es de orden $2\times 2$, el mismo que el de la traspuesta: la resta se puede hacer.

$A\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 6& 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -4& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15-8& 0+2\\ 30-4& 0+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 26& 1\end{array}\right)$

Calculamos ahora el sustraendo:

$B-I=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow (B-I{)}^T=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$

$M=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 26& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ 24& 0\end{array}\right)$



El segundo miembro es de orden $1\times 2$ y $B$ de orden $2\times 2$, así que $X$ ha de ser de orden $1\times 2$. Como la incógnita está multiplicada por la derecha, despejamos multiplicando por $B^{-1}$ por ese mismo lado:

$X=\left(\begin{array}{cc}2& 4\end{array}\right)\cdot B^{-1}$

La matriz $B$ tiene inversa porque su determinante no es nulo:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=-2\cdot 2-2\cdot 0=-4\Rightarrow B^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}2& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\end{array}\right)$

Sí es posible, y la matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\end{array}\right)$.