Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 5& -1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 4& -1& 3\end{array}\right)$ y la ecuación matricial $XB+A=C$, determine razonadamente el orden (dimensión) de la matriz $X$ para que la ecuación matricial esté bien planteada. Despeje la matriz $X$ y resuelva dicha ecuación matricial. (5 puntos)

b) Calcule, utilizando técnicas matriciales, la solución del sistema de ecuaciones lineales:

$\{\begin{array}{l}2x-5y+3z=1\\ x-y+z=1\\ 3x+3y+z=5\end{array}$ (5 puntos)

Para que la suma $XB+A$ tenga sentido, el producto $XB$ debe tener el mismo orden que $A$, que es $2\times 3$. Como $B$ es de orden $3\times 3$ y multiplica a $X$ por la derecha, la matriz $X$ ha de ser de orden $2\times 3$.

Se despeja $X$ multiplicando por la derecha por la inversa de $B$.

$XB+A=C\Rightarrow XB=C-A$

$XB\cdot B^{-1}=(C-A)B^{-1}\Rightarrow X=(C-A)B^{-1}$

Se calcula primero la matriz $C-A$.

$C-A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 4& -1& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 5& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ -1& 0& 2\end{array}\right)$

Se calcula ahora la inversa de $B$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula el determinante:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =1(0-1)-2(0-0)+0(2-0)=-1\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $B$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\mathrm{Adj}(B)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 0& -1\\ 2& -1& -5\end{array}\right)$

3) Se traspone y se aplica la fórmula. La matriz de los adjuntos resulta ser simétrica, así que su traspuesta coincide con ella:

$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}(\mathrm{Adj}(B){)}^t={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 0& -1\\ 2& -1& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 5\end{array}\right)$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ -1& 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 5\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}3\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-2)& 3\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 1& 3\cdot (-2)+0\cdot 1+1\cdot 5\\ (-1)\cdot 1+0\cdot 0+2\cdot (-2)& (-1)\cdot 0+0\cdot 0+2\cdot 1& (-1)\cdot (-2)+0\cdot 1+2\cdot 5\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -5& 2& 12\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$XB=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -5& 2& 12\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ -1& 0& 2\end{array}\right)=C-A$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -5& 2& 12\end{array}\right)$, de orden $2\times 3$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{utilizando}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cnicas}}\mathbf{\text{matriciales,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}(5\text{ puntos})$

Se escribe el sistema en forma matricial:

$\left(\begin{array}{ccc}2& -5& 3\\ 1& -1& 1\\ 3& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Se llama $M$ a la matriz de los coeficientes y se calcula su determinante para discutir el sistema.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& -5& 3\\ 1& -1& 1\\ 3& 3& 1\end{array}\mid =2(-1-3)+5(1-3)+3(3+3)=-8-10+18=0$

El determinante es cero, así que la matriz no tiene inversa y hay que estudiar los rangos. El menor

$\mid \begin{array}{cc}2& -5\\ 1& -1\end{array}\mid =-2+5=3\mathrm{\ne }0$

garantiza que $\mathrm{rg}(M)=2$.

Se estudia el rango de la matriz ampliada orlando ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}2& -5& 1\\ 1& -1& 1\\ 3& 3& 5\end{array}\mid =2(-5-3)+5(5-3)+1(3+3)=-16+10+6=0$

Por tanto $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }B)=2<3$ y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Se resuelve tomando las dos primeras ecuaciones —las del menor no nulo— y pasando $z=\lambda$ al segundo miembro:

$\{\begin{array}{l}2x-5y=1-3\lambda \\ x-y=1-\lambda \end{array}$

De la segunda ecuación, $x=1-\lambda +y$. Se sustituye en la primera:

$2(1-\lambda +y)-5y=1-3\lambda \Rightarrow 2-2\lambda -3y=1-3\lambda$

$-3y=-1-\lambda \Rightarrow y={\displaystyle \frac{1+\lambda }{3}}$

$x=1-\lambda +{\displaystyle \frac{1+\lambda }{3}}={\displaystyle \frac{3-3\lambda +1+\lambda }{3}}={\displaystyle \frac{4-2\lambda }{3}}$

Se comprueba la tercera ecuación:

$3\cdot {\displaystyle \frac{4-2\lambda }{3}}+3\cdot {\displaystyle \frac{1+\lambda }{3}}+\lambda =(4-2\lambda )+(1+\lambda )+\lambda =5$

El sistema es compatible indeterminado y su solución es $x={\displaystyle \frac{4-2\lambda }{3}}$, $y={\displaystyle \frac{1+\lambda }{3}}$, $z=\lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.