Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}m& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ 4& 1& -2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$

a) Calcule el valor de $m$ para que la ecuación matricial $X\cdot A=B$ tenga solución única. (3 puntos)

b) Para $m=1$, resuelva la ecuación matricial anterior. (4 puntos)

c) Resuelva el sistema de ecuaciones $B\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. (3 puntos)

Se despeja $X$ multiplicando por la derecha por la inversa de $A$:

$X\cdot A=B\Rightarrow X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}\Rightarrow X=B\cdot A^{-1}$

La ecuación tiene solución única exactamente cuando $A$ es inversible, es decir, cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}m& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ 4& 1& -2\end{array}\mid =m(2\cdot (-2)-3\cdot 1)-0+(-1)(0\cdot 1-2\cdot 4)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=m(-4-3)-1(0-8)=-7m+8$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -7m+8=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{8}{7}}$

La ecuación matricial $X\cdot A=B$ tiene solución única para todo $m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{8}{7}}$.



Para $m=1$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ 4& 1& -2\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-7\cdot 1+8=1\mathrm{\ne }0$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

1) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-7& 12& -8\\ -1& 2& -1\\ 2& -3& 2\end{array}\right)$

2) Se calcula su traspuesta:

$(\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-7& -1& 2\\ 12& 2& -3\\ -8& -1& 2\end{array}\right)$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}(\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-7& -1& 2\\ 12& 2& -3\\ -8& -1& 2\end{array}\right)$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X=B\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-7& -1& 2\\ 12& 2& -3\\ -8& -1& 2\end{array}\right)$

Desarrollando cada elemento:

$X=\left(\begin{array}{ccc}0\cdot (-7)+1\cdot 12+1\cdot (-8)& 0\cdot (-1)+1\cdot 2+1\cdot (-1)& 0\cdot 2+1\cdot (-3)+1\cdot 2\\ 1\cdot (-7)+0\cdot 12+1\cdot (-8)& 1\cdot (-1)+0\cdot 2+1\cdot (-1)& 1\cdot 2+0\cdot (-3)+1\cdot 2\\ 1\cdot (-7)+(-1)\cdot 12+0\cdot (-8)& 1\cdot (-1)+(-1)\cdot 2+0\cdot (-1)& 1\cdot 2+(-1)\cdot (-3)+0\cdot 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -1\\ -15& -2& 4\\ -19& -3& 5\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$X\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -1\\ -15& -2& 4\\ -19& -3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ 4& 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)=B$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -1\\ -15& -2& 4\\ -19& -3& 5\end{array}\right)$.



Es un sistema homogéneo, así que siempre es compatible. Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes para saber de qué tipo.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =0(0+1)-1(0-1)+1(-1-0)=0+1-1=0$

El determinante se anula, pero el menor $\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$ garantiza que $\mathrm{rg}(B)=2$. Por ser homogéneo, el rango de la ampliada coincide, así que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Se escriben las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}y+z=0\\ x+z=0\\ x-y=0\end{array}$

Se toma $z=\lambda$ como parámetro. De la primera ecuación, $y=-\lambda$, y de la segunda, $x=-\lambda$. Se comprueba la tercera:

$x-y=-\lambda -(-\lambda )=0$

El sistema es compatible indeterminado y su solución es $x=-\lambda$, $y=-\lambda$, $z=\lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.