Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 1& 1\\ -1& 1& -2\end{array}\right)$, se pide:

a) Calcula $(B-A{)}^{-1}$. (3 puntos)

b) Calcula la matriz $X$ que verifica $2X-AB=BA$. (3 puntos)

c) Resuelve el sistema de ecuaciones $C\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. (4 puntos)

Se calcula primero la matriz $B-A$.

$B-A=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 4& -1\end{array}\right)$

Se calcula su inversa por el método de los adjuntos.

1) Se calcula el determinante:

$\mathrm{\mid }B-A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& 2\\ 4& -1\end{array}\mid =0\cdot (-1)-2\cdot 4=-8\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $B-A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\mathrm{Adj}(B-A)=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ -2& 0\end{array}\right),(\mathrm{Adj}(B-A){)}^t=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -4& 0\end{array}\right)$

3) Se aplica la fórmula:

$(B-A{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-8}}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

La matriz inversa buscada es $(B-A{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\end{array}\right)$.



Se despeja $X$ de la ecuación matricial. Al ser $2$ un número, basta pasarlo dividiendo.

$2X-AB=BA\Rightarrow 2X=BA+AB\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{2}}(BA+AB)$

Se calculan los dos productos, que no coinciden porque el producto de matrices no es conmutativo.

$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+1\cdot 3& 0\cdot 3+1\cdot 1\\ (-1)\cdot 0+2\cdot 3& (-1)\cdot 3+2\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& -1\end{array}\right)$

$BA=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+3\cdot (-1)& 0\cdot 1+3\cdot 2\\ 3\cdot 0+1\cdot (-1)& 3\cdot 1+1\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ -1& 5\end{array}\right)$

$BA+AB=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ -1& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ 5& 4\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ 5& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{7}{2}}\\ {\displaystyle \frac{5}{2}}& 2\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{7}{2}}\\ {\displaystyle \frac{5}{2}}& 2\end{array}\right)$.



Es un sistema homogéneo, así que siempre es compatible. Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes para saber de qué tipo.

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 1& 1\\ -1& 1& -2\end{array}\mid =1(-2-1)-1(-4+1)+0(2+1)=-3+3=0$

El determinante se anula, pero el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =1-2=-1\mathrm{\ne }0$ garantiza que $\mathrm{rg}(C)=2$. Por ser homogéneo, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Se escriben las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+y+z=0\\ -x+y-2z=0\end{array}$

De la primera ecuación, $y=-x$. Se sustituye en la segunda:

$2x-x+z=0\Rightarrow z=-x$

Se comprueba la tercera:

$-x+(-x)-2(-x)=-2x+2x=0$

Se toma $z=\lambda$ como parámetro, con lo que $x=-\lambda$ e $y=\lambda$.

El sistema es compatible indeterminado y su solución es $x=-\lambda$, $y=\lambda$, $z=\lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.