Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& -5\end{array}\right)$

a) Calcula $(A-B{)}^2$. (0,75 puntos)

b) ¿Se podría calcular la matriz inversa de $(A-B{)}^2$? (0,25 puntos)

c) ¿Qué propiedad tienen que cumplir dos matrices $A$ y $B$ cualesquiera para que se cumpla $(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$? (0,5 puntos)

Restamos primero las dos matrices y elevamos después al cuadrado.

$A-B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 5\end{array}\right)$

$(A-B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9+0& 3+5\\ 0+0& 0+25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 8\\ 0& 25\end{array}\right)$



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que basta calcularlo.

$\mid (A-B{)}^2\mid =9\cdot 25-8\cdot 0=225\mathrm{\ne }0$

Sí se podría calcular: al ser el determinante distinto de cero, la matriz $(A-B{)}^2$ tiene inversa.



Desarrollamos el cuadrado sin suponer nada sobre el orden de los factores:

$(A-B{)}^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2$

La igualdad del enunciado exige que $-AB-BA$ sea $-2AB$, es decir:

$AB=BA$

Las dos matrices tienen que conmutar. En general el producto de matrices no es conmutativo, así que la identidad no vale para dos matrices cualesquiera; de hecho las de este ejercicio no conmutan.