Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ -1\mathrm{/}2& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ -1& 4\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{c}2\mathrm{/}3\\ 1\mathrm{/}3\end{array}\right)$ y $D=\left(\begin{array}{cc}-6& 3\end{array}\right)$

a) Calcula $A\cdot C+D^T$. (0,5 puntos)

b) Razona si $A$ y $B$ tienen matriz inversa (no es necesario calcularlas). (0,5 puntos)

c) ¿Qué dimensiones tienen las matrices resultantes de los producto $D\cdot C$ y $D^T\cdot C^T$? (No es necesario hacer las multiplicaciones). (0,5 puntos)

La matriz $A$ es de orden $2\times 2$ y $C$ de orden $2\times 1$, así que el producto es de orden $2\times 1$, el mismo que el de $D^T$: la suma se puede hacer.

$A\cdot C=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-2\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$

$A\cdot C+D^T=\left(\begin{array}{c}0\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ {\displaystyle \frac{11}{3}}\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{si}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{(no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{calcularlas).}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que basta calcularlos.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3\cdot 3-(-6)\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=9-3=6\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=1\cdot 4-(-4)\cdot (-1)=4-4=0$

La matriz $A$ tiene inversa porque su determinante vale 6; la matriz $B$ no la tiene, porque su determinante es cero.



El producto de una matriz de orden $m\times n$ por otra de orden $n\times p$ es de orden $m\times p$.

$D$ es de orden $1\times 2$ y $C$ de orden $2\times 1$, luego $D\cdot C$ es de orden $1\times 1$: un solo número.

Al trasponer, $D^T$ es de orden $2\times 1$ y $C^T$ de orden $1\times 2$, luego $D^T\cdot C^T$ es de orden $2\times 2$.