Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& -6\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 4\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}0& 9\\ 3& 5\end{array}\right)$.

a) Resuelve la ecuación matricial $X+X\cdot \frac{1}{2}A=A\cdot B$. (1,5 puntos)

b) Calcula $-\frac{1}{2}A-2B^T+C$. (0,5 puntos)

En los dos sumandos del primer miembro la incógnita está por la izquierda, así que la sacamos factor común por ese lado, dejando la identidad donde no hay nada que multiplicar:

$X+X\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}A=X\cdot (I+{\displaystyle \frac{1}{2}}A)=A\cdot B$

$X=A\cdot B\cdot {(I+{\displaystyle \frac{1}{2}}A)}^{-1}$

Calculamos las dos piezas. Primero el paréntesis y su inversa:

$I+{\displaystyle \frac{1}{2}}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -2\end{array}\right)$

$\mid I+{\displaystyle \frac{1}{2}}A\mid =-2+1=-1\Rightarrow {(I+{\displaystyle \frac{1}{2}}A)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$

Y ahora el producto del segundo miembro:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& -6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-10& -8\\ -30& -26\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-10& -8\\ -30& -26\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-20-8& 10+8\\ -60-26& 30+26\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-28& 18\\ -86& 56\end{array}\right)$



Calculamos por separado los tres sumandos y después los sumamos elemento a elemento.

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 3\end{array}\right),2B^T=2\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 10\\ -2& 8\end{array}\right)$

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}A-2B^T+C=\left(\begin{array}{cc}0-0+0& 1-10+9\\ -1+2+3& 3-8+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 4& 0\end{array}\right)$

El resultado es una matriz con un único elemento no nulo.