Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $M=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 1& 2\end{array}\right)$, $N=\left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 1& -4\end{array}\right)$ y $P=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ -3& 1\end{array}\right)$,

a) Demuestra que $M$ y $N$ conmutan. (0,5 puntos)

b) Resuelve la ecuación $M\cdot P\cdot X=N^T-M$. (1 punto)

c) Calcula la matriz que sumada con la matriz $(N+I{)}^2$ da como resultado la matriz nula, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestra}}\mathbf{\text{que}}\mathit{M}\mathbf{\text{y}}\mathit{N}\mathbf{\text{conmutan.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Dos matrices conmutan cuando su producto no depende del orden, así que calculamos los dos productos.

$M\cdot N=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 1& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8+9& 36-36\\ -2+2& 9-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$N\cdot M=\left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 1& -4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8+9& -18+18\\ 4-4& 9-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Los dos productos valen la identidad, luego $M$ y $N$ conmutan y además son inversas la una de la otra.



Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $M\cdot P$:

$X=(M\cdot P{)}^{-1}\cdot (N^T-M)$

Calculamos las dos piezas. Primero el producto del primer miembro:

$M\cdot P=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}6& -3\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}24-27& -12+9\\ 6-6& -3+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -3\\ 0& -1\end{array}\right)$

Su determinante no es nulo, luego tiene inversa:

$\mathrm{\mid }M\cdot P\mathrm{\mid }=3\Rightarrow (M\cdot P{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 0& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{3}}& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

Y ahora el segundo miembro, trasponiendo $N$ y restando:

$N^T-M=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 9& -4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-6& -8\\ 8& -6\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{3}}& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-6& -8\\ 8& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& -{\displaystyle \frac{10}{3}}\\ -8& 6\end{array}\right)$



La matriz que sumada a otra da la matriz nula es su opuesta, así que basta calcular $(N+I{)}^2$ y cambiar el signo de todos sus elementos.

$N+I=\left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 1& -4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 9\\ 1& -3\end{array}\right)$

$(N+I{)}^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 9\\ 1& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 9\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+9& -9-27\\ -1-3& 9+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& -36\\ -4& 18\end{array}\right)$

La matriz pedida es la opuesta de la anterior:

$-(N+I{)}^2=\left(\begin{array}{cc}-10& 36\\ 4& -18\end{array}\right)$