Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Dadas dos matrices cuadradas $A$ y $B$, razona si se obtendría el mismo resultado en la resolución de las ecuaciones $A\cdot X=B$ y $B=X\cdot A$. ¿De qué propiedad estamos hablando? (0,5 puntos)

b) Si la dimensión de la matriz $M$ es $3\times m$, la dimensión de la matriz $N$ es $2\times 5$ y $P$ es una matriz cuadrada de orden $p$. ¿Qué valores han de tomar $m$ y $p$ para que se pueda realizar el producto $M\cdot N\cdot P$? ¿Qué dimensión tendría la matriz resultante? (0,5 puntos)

c) Para las matrices $C=\left(\begin{array}{cc}-4& 11\\ 1& -3\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$ y $E=\left(\begin{array}{cc}9& -3\\ -9& 3\end{array}\right)$ resuelve la ecuación $X\cdot C-D^2=\frac{1}{3}{E}^T$. (1 punto)

En las dos ecuaciones hay que despejar $X$ multiplicando por $A^{-1}$, pero el lado por el que se multiplica no es el mismo, porque la incógnita está a la derecha en un caso y a la izquierda en el otro.

En la primera se multiplica por la izquierda:

$A\cdot X=B\Rightarrow A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B\Rightarrow X=A^{-1}\cdot B$

En la segunda, por la derecha:

$X\cdot A=B\Rightarrow X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}\Rightarrow X=B\cdot A^{-1}$

En general $A^{-1}\cdot B\mathrm{\ne }B\cdot A^{-1}$, así que las dos ecuaciones no dan el mismo resultado. Estamos hablando de que el producto de matrices no es conmutativo.



Dos matrices se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda.

Para poder hacer $M\cdot N$, las columnas de $M$ han de ser las filas de $N$:

$m=2\Rightarrow M\cdot N\text{ es de dimensi}\acute{\text{o}}\text{n }3\times 5$

Y para poder multiplicar ese resultado por $P$, las columnas del producto han de ser las filas de $P$:

$p=5$

Con $m=2$ y $p=5$ el producto se puede hacer, y la matriz resultante es de dimensión $3\times 5$.



Como la incógnita está multiplicada por la derecha, despejamos multiplicando por $C^{-1}$ por ese mismo lado:

$X\cdot C={\displaystyle \frac{1}{3}}{E}^T+D^2\Rightarrow X=({\displaystyle \frac{1}{3}}{E}^T+D^2)\cdot C^{-1}$

Calculamos las piezas del paréntesis:

${\displaystyle \frac{1}{3}}{E}^T={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}9& -9\\ -3& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ -1& 1\end{array}\right)$

$D^2=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}25& 0\\ -7& 4\end{array}\right)$

${\displaystyle \frac{1}{3}}{E}^T+D^2=\left(\begin{array}{cc}28& -3\\ -8& 5\end{array}\right)$

La matriz $C$ tiene inversa porque su determinante no es nulo:

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=12-11=1\Rightarrow C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& -11\\ -1& -4\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}28& -3\\ -8& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-3& -11\\ -1& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-84+3& -308+12\\ 24-5& 88-20\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-81& -296\\ 19& 68\end{array}\right)$