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Examen de Matemáticas CCSS de Castilla-La Mancha 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas CCSS de Castilla-La Mancha, convocatoria ordinaria de 2023. Aquí hay 12 ejercicios publicados, 12 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Programación lineal

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función

f (x, y) = - x - 5 y + 10

sujeta a las siguientes restricciones:

{\begin{cases} x - y \geq 0 \\ - 4 \leq x \leq 4 \\ - 1 \leq y \leq 1 \end{cases}

a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1,25 puntos)

b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0,25 puntos)

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

La discografía de un legendario grupo de rock se reedita en tres discos (I, II y III) y las ventas totales ascienden a 70000 unidades. Sabemos que del disco III se vendieron las mismas unidades que entre los otros dos discos juntos y que la diferencia entre las unidades vendidas del III y las del II equivalen al triple de la diferencia entre las unidades vendidas del II y las del I.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de unidades de cada disco se vendieron. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Funciones

Se considera la función

f (x) = {\begin{cases} 2 x^{2} + t x - 1 & si x \leq 1 \\ x + t & si x > 1 \end{cases}

a) ¿Para qué valor de

t

la función

f (x)

es continua en

x = 1

? (0,5 puntos)

b) Para

t = 2

, calcula los extremos relativos de la función

f (x)

en el intervalo

(- \infty, 1)

. (0,5 puntos)

c) Para

t = 2

, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f (x)

(- \infty, 1)

. (0,5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Funciones

La función

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c

tiene un punto de inflexión en

(2, - 5)

y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es

- 12

. Calcula razonadamente los valores de los parámetros

a

b

c

. (1,5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Probabilidad

En un determinado instituto el 50 % de los estudiantes prefiere como red social Facebook, pero un 30 % de estos no publica habitualmente nada. El 35 % prefiere Instagram, pero solo el 30 % de los que prefieren esta plataforma hacen publicaciones habitualmente. Finalmente, el resto de los estudiantes prefiere TikTok y un 60 % de estos no publica habitualmente.

a) Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no publique habitualmente nada en su red social preferida? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que un estudiante publica habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que su red social preferida sea Instagram? (0,75 puntos)

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Probabilidad

Una asociación benéfica ha tomado una muestra de 9 personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo 60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45 y 30 euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza

σ^{2} = 100 {euros}^{2}

,

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del dinero donado con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 2 euros. (1 punto)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Sistemas de ecuaciones

Un teatro ha vendido las 660 entradas disponibles que tenía para un espectáculo. El número de entradas que se han vendido para jubilados es la cuarta parte de las entradas que se han vendido para adultos. Además, las entradas para niños equivalen al 10 % de las que se han vendido entre adultos y jubilados.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cómo se han repartido las entradas entre adultos, jubilados y niños. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Matrices y Determinantes

Dadas las matrices

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B = (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})

C = (\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2 \end{array})

,

a) Calcula

A \cdot B \cdot C^{T}

. (0,75 puntos)

b) Calcula

\frac{1}{3} B^{2} - I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3. (0,75 puntos)

c) Razona si se puede calcular

(A - B) - C

B \cdot C

(no es necesario realizar las operaciones). (0,5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

De los 80 estudiantes solicitantes de una beca Erasmus en Italia, 50 son mujeres. Se seleccionan al azar y sin reposición a 3 estudiantes que serán los que disfruten de la beca Erasmus en ese destino. Calcular la probabilidad de que:

a) Los tres seleccionados sean mujeres. (0,5 puntos)

b) Los tres seleccionados sean del mismo sexo. (0,5 puntos)

c) Al menos dos de los seleccionados sean hombres. (0,5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Probabilidad

Un fabricante de motores para coches de Fórmula 1 ha tomado una muestra aleatoria de 81 motores para examinar su peso, proporcionando una media de 153 kg. Si se sabe que el peso de los motores sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica

σ = 30

kg,

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del peso de los motores con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 93,12 %? (0,5 puntos)

c) El fabricante afirma que el peso medio de los motores es de 145 kg. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 92 %? Justificar la respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

Ver la solución del ejercicio 10

Ejercicio 11: Funciones

Se considera la función

f (x) = {\begin{cases} - (x + t)^{2} + 2 & si x \leq - 2 \\ t - 2 & si - 2 < x \leq 2 \\ x^{2} - (t + 3) x + 9 & si x > 2 \end{cases}

a) ¿Existe un valor de

t

para el que la función

f (x)

es continua en

x = - 2

y en

x = 2

? (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente la función

f (x)

para

t = 3

. (0,75 puntos)

Ver la solución del ejercicio 11

Ejercicio 12: Funciones

La altura, medida en metros, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba viene expresada en función del tiempo por

H (x) = 20 x - 2 x^{2}

con

x =

tiempo en segundos y

0 \leq x \leq 10

.

a) ¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los 3 segundos? (0,5 puntos)

b) ¿En qué momentos la pelota se encuentra a 32 metros de altura? (0,5 puntos)

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento? (1 punto)

Ver la solución del ejercicio 12