Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x,y)=-x-5y+10$ sujeta a las siguientes restricciones:

$\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ -4\le x\le 4\\ -1\le y\le 1\end{array}$

a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1,25 puntos)

b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0,25 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Las restricciones $-4\le x\le 4$ y $-1\le y\le 1$ definen un rectángulo, y la primera, escrita como $y\le x$, se queda con el semiplano que hay por debajo de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

$x-y\ge 0\Rightarrow y\le x$

Las rectas frontera son $y=x$, $x=-4$, $x=4$, $y=-1$ e $y=1$. La recta $x=-4$ no llega a tocar el recinto, porque para $x=-4$ haría falta $y\le -4$ y la ordenada nunca baja de $-1$.



Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\{\begin{array}{l}y=x\\ y=-1\end{array}\Rightarrow A(-1,-1)$

$\{\begin{array}{l}y=x\\ y=1\end{array}\Rightarrow D(1,1)$

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-1\end{array}\Rightarrow B(4,-1)$

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}\Rightarrow C(4,1)$

La región factible es el trapecio de vértices $A(-1,-1)$, $B(4,-1)$, $C(4,1)$ y $D(1,1)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indica}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptimos}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{respectivos}}\mathbf{\text{valores.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que valoramos la función objetivo en los cuatro:

$f(-1,-1)=1+5+10=16$

$f(4,-1)=-4+5+10=11$

$f(4,1)=-4-5+10=1$

$f(1,1)=-1-5+10=4$

El máximo se alcanza en el punto $A(-1,-1)$ y vale 16; el mínimo se alcanza en el punto $C(4,1)$ y vale 1.